Omskriving

[støvmidd]

Vis at :

Sin X = 2 Tan x/2 * Cos² x/2

[01]

2tan(x/2)=2sin(x/2)/cos(x/2), definisjonen av tangens
Da blir 2tan(x/2)*cos(x/2)^2=2sin(x/2)cos(x/2)
Multiplikasjonsreglene gir da 2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x)

[Gjest]

Men hva blir :

[itgl][/itgl]1/cos x dx

For å bruke substitusjon må jeg skrive om til et utrykk som inneholder
kjærne og den deriverte av kjærnen.

Så da må jeg skrive om :

cos x

Nå er problemet at det er 1000 måter å skrive cos på........

[oro2]

Men hva blir :

[itgl][/itgl]1/cos x dx

[itgl][/itgl]1/cos(x) dx = [itgl][/itgl]sec(x) dx

Utvid med (sec(x)+tan(x)):
[itgl][/itgl](sec[sup]2[/sup](x) + (sec(x)tan(x))/(sec(x)+tan(x)) dx

Substituer u = sec(x) + tan(x), siden teller er den deriverte av nevner. Da får du:
[itgl][/itgl]1/u du = ln(u) + C = ln(sec(x)+tan(x)) + C
Så kan du eventuelt sette inn for sec(x) hvis du vil ha svaret bare med sin/cos/tan.

[Gjest]

Jeg kjenner kun til sin , cos og tan.

Fasiten sier at løsningen er :

- ln ( tan ([pi][/pi]/4 -x/2) + C

Det mest interessanne er hvordan man bør tenke ,og hvordan man kan se hva man må gjøre for å løse oppgaven.[pi][/pi]

Kanskje man først bør skrive om :

cos x = sin [pi][/pi]/2-x

for å få et noenlunde samme utgangspunkt som når man omskriver sin X

[oro2]

Jeg kjenner kun til sin , cos og tan.

Ok, da kan jeg jo skrive hva sec er for noe.
sec(t) = 1/cos(t)
Tilsvarende har vi:
csc(t) = 1/sin(t) og
cot(t) = 1/tan(t) = cos(t)/sin(t)

De heter hhv sekant, cosekant, og cotangens.

d/dt (sec(t)) = sec(t)tan(t)
d/dt (csc(t)) = -csc(t)cot(t)
d/dt (cot(t)) = -csc[sup]2[/sup](t)

Jeg ser ikke umiddelbart hvordan man skal skrive det om på den måten du vil, men det kan sikkert noen andre her...?