matematikk.net

"La n være et naturlig tall større enn 1. Bevis at [tex]n^3 - n[/tex] kan deles på 6."

Noen som kan hjelpe meg i gang her?

[tex]n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)[/tex]

Når vi trekker ut tre tilfeldige tall, må nødvendigvis ett av de tilhøre 3-gangen, og ett tilhøre 2-gangen. Hvilket impliserer i at vi må ha faktoren 3 i ett ledd, og 2 i et annet, hvilket beviser det hele.

Du kan jo også prøve å sette inn for n=2k, og n=2k+1

[tex]2k(2k-1)(2k+1)[/tex]. Denne er åpenbart delelig med 2, og da må også nødvendigvis enten 2k-1 eller 2k+1 være delelig med 3.

(Hvis du ikke skjønte det, prøv å trekk ut et tilfelle tall i 2gangen, og legg merke til at enten 2k-1 eller 2k+1 vil være delelig med 3. )

Takk for hjelpen - det er jo genialt!

Når man får i oppgave å bevise ting generelt, er det lagt opp til at man skal klare det ved hjelp av små "innfall", eller finnes det noen standardiserte måter å gå frem på, slik som med likninger? Likninger på 6-klassenivå gikk jo ut på å prøve og feile, og så kom det et system. Finnes det noe lignende for bevis?

Går mye på erfaring, men mye av disse triksene lærer du f.eks ved å lese litt modulær aritmetikk