Lineær algebra

[sletvik]

Innenfor lineær algebra har jeg tre vektorer:

[2s+t] [s-t] [s+2t]

Hvordan finner jeg ut om disse vektorene danner et underrom i R[sup]3[/sup] ? Hva er liksom standard fremgangsmåte? Har samme spørsmål angående disse vektorene:

[s-2t] [s+3-3u] [s-3t+u]

En annen ting jeg lurer på er at kalkulatoren min beregner Gauss-eliminasjon på vanlig måte, men den ganger alltid opp pivot-elementene slik at de blir 1. Vil ikke dette endre "verdien" av matrisen i motsetning til hvis det ikke ble gjort?

Skjønner lite her....

[oro2]

En annen ting jeg lurer på er at kalkulatoren min beregner Gauss-eliminasjon på vanlig måte, men den ganger alltid opp pivot-elementene slik at de blir 1. Vil ikke dette endre "verdien" av matrisen i motsetning til hvis det ikke ble gjort?

Vet ikke helt hva du mener med "verdien", men hvis du mulitpliserer en rekke med et tall endrer jo ikke dette på løsningene til ligningssystemet. Når du skal få en matrise på redusert trinnform (reduced echelon matrix) skal jo også det første elementet forskjellig fra null i hver rad være 1 (Gauss-Jordan eliminasjon), samt at hvert ledende element skal være det eneste som ikke er null i sin kolonne.

Til de oppgavene om underrom er jeg ikke helt sikker... har ikke eksamen i dette før om noen uker men jeg tror du kan prøve å skrive vektorene på formen:
[2 1 1] s + [1 -1 2] t
(der disse vektorene er 3*1 matriser (på "høykant"), vanskelig å skrive det her)
Sjekk så om disse to vektorene utspenner et plan (eller en linje), samt at planet/linjen går gjennom 0.

[ThomasB]

Hva mener du egentlig når du skriver
"tre vektorer: [2s + t] [s-t] [s+2t]"

Kaller du "[2s + t]" en vektor? I så fall hva er komponentene?

Er s, t og u vektorer?

Generelt for å finne ut om noe er et underrom av R[sup]3[/sup], må du sjekke om det du har er et vektorrom. Det er det bare hvis summen av to vilkårlige vektorer i rommet også ligger i det samme underrommet.

Eksempelvis er alle plan som går gjennom origo underrom, men et plan som går utenfor origo er ikke et underrom av R[sup]3[/sup].

Med vanlig notasjon for vektorer, kan f.eks. en vektor skrives som: (a, b, 1)
der a og b er tall. Hvis vi varierer a og b får vi planet z=1, og dette er ikke et vektorrom, fordi vektoren (0,0,1) ligger i planet, mens 2*(0,0,1) ikke ligger i planet.

[Bernoulli]

Har du to vilkårlige vektorer u og v i et underrom W, og en konstant c, så må følgende gjelde:

i) u + v er med i W

ii) c*u er med i W

I tillegg er det viktig å huske at ALLE underrom inneholder origo.

[sletvik]

Kaller du "[2s + t]" en vektor? I så fall hva er komponentene?

For å sitere boka direkte:

Er denne vektormengden et underrom i R[sup]3[/sup]?

{x|x[sub]1[/sub]=s+t, x[sub]2[/sub]=2s+t, x[sub]3[/sub]3s+3t, s og t er elementer i R}

[PeerGynt]

Dette er lettere enn det ser ut til i foerste oeyekast.

Dersom v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]r[/sub] er vektorer i et vektorrom V, så er settet av alle lineaere kombinasjoner av v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]r[/sub] et underrom av V

Vil bare legge til at teoremet over foelger direkte av definisjonen for underrom gitt av Bernoulli ovenfor. Bernoulli har nok også Anton & Rorres boka ser det ut til

x er en lineaer kombinasjon av vektorene <1,2,3> og <1,1,3> ettersom x = s<1,2,3> + t<1,1,3> = <s+t, 2s+t, 3s+3t>

x er foelgelig et underrom av R[sup]3[/sup] ettersom vektorene <1,2,3> og <1,1,3> er vektorer i R[sup]3[/sup] og x er en lineaer kombinasjon av disse.

_

[sletvik]

Hvor får du <1,2,3> og <1,1,3> fra?

[administrator]

Herfra:

x|x[sub]1[/sub]=s+t, x[sub]2[/sub]=2s+t, x[sub]3[/sub]3s+3t, s og t er elementer i R}

mvh
KM

[PeerGynt]

Jeg vil nå bruke "rette" parenteser istedetfor hakeparenteser.

x = [x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub]] = [s+t, 2s+t, 3s+3t] = s[1,2,3] + t[1,1,3]

ok?
_

[Bernoulli]

Det teoremet gjelder vel dersom vektorene danner et underrom. Ifølge oppgaven skal man etter det jeg har forstått vise at den vektormengden man har fått oppgitt danner et propert underrom i R3. Det gjør den hvis begge betingelsene i teoremet jeg skrev opp holder.

Lager meg to vilkårlige vektorer utifra oppg, feks en med s=1, t=0 og en annen med s=0, t=1. Får da u = [1, 2, 3] og v = [1, 1, 3]. Sjekker så om begge betingelsene holder:

i) Er u+v med i underrommet?
u+v = [1+1 , 2+1, 3+3]. Dvs nå er s=1, t=1, og denne vektoren er også med i underrommet.

ii) Er c*u med i underrommet for en eller annen konstant c?
c*u = [c , 2c, 3c]. Dvs s=c, t=0, og er da også med i underrommet.

Konklusjon: Vektormengden du har fått oppgitt danner et propert underrom av R3.

Dersom én eller ingen av de to punktene holdt, så ville de ikke dannet et underrom i R3.

Jeg bruker forresten Edwards & Penney til lineæralgebra.

[PeerGynt]

Slik jeg forstår det så er alt som kreves av v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub]...osv. at de er vektorer i det samme vektorrommet. Dersom de er det, så vil alle mulige lineare kombinasjoner av disse vektorene danne et underrom.

Du viste at [1,2,3] og [1,1,3] er et underrom av R[sup]3[/sup]. Er det dermed automatisk vist at alle lienaere kombinasjoner av disse to, altså mengden x, er et underrom an R[sup]3[/sup]? Teoremet ovenfor slår fast at dette er tilfellet.

[Bernoulli]

Vi skulle vel finne ut om vektormengden danner et underrom av R[sup]3[/sup] eller ikke. Det holder ikke at et sett med vektorer bare er i samme vektorrom.
Ta feks alle vektorer i R[sup]n[/sup] med bare positive elementer. Dvs
{x | x[sub]i[/sub] >= 0, i=1,2,...,n}
Vi kan se at alle vektorerene er med i R[sup]n[/sup], men siden

-1 * en av disse vektorene nå har negative elementer , så danner ikke denne vektormengden et underrom i R[sup]n[/sup].

[PeerGynt]

Nei, det er riktig at vektormengden ikke danner et underrom av R[sup]n[/sup]. Men det holder fortsatt å si at alle mulige lineaere kombinasjoner av vektorene {x | x[sub]i[/sub] >= 0, i=1,2,...,n} er et underrom av R[sup]n[/sup] ettersom -1* en av vektorene er en lineaer kombinasjon.

[PeerGynt]

For å vaere presis, her er det fra grunnen av:

[1,2,3] og [1,1,3] er vektorer i R[sup]3[/sup]

Vil vil se om alle lineaere kombinasjoner av disse vektorene er et underrom av R[sup]3[/sup]. La oss kalle dette underrommet W.

Man kan godta teoremet jeg nevnte tidligere, eller man kan ta det fra grunnen av slik Bernoulli foretrekker:

1. Addisjon
En generell vektor i W:
u = k1*[1,2,3] + k2*[1,1,3]
En annen generell vektor i W:
v = c1*[1,2,3] + c2*[1,1,3]
der c og k er skalare

u + v = (k1+c1)*[1,2,3] + (k2+c2)*[1,1,3]
u + v er en linear kombinasjon av [1,2,3] og [1,1,3] og er derfor i underrommet W.

2. Multiplikasjon
kv = (k*c1)*[1,2,3] + (k*c2)*[1,1,3]
kv er en lineaer kombinasjon av [1,2,3] og [1,1,3] og er derfor i underrommet W.

W er lukket under addisjon og multiplikasjon. W er et underrom av R[sup]3[/sup].

Dette kan gjoeres for enhver generell vektor i et vektorrom V og er allmengyldig. Selv om vektorene ikke danner et underrom av V, så er alle mulige lineaere kombinasjoner av vektorene alltid et underrom av V.

[Bernoulli]

Ja -1* en av vektorene er en lineaer kombinasjon, men siden denne nye vektoren ikke er med i mengden {x | xi >= 0, i=1,2,...,n}, så danner ikke denne vektormengden et underrom.
Jeg må ha at alle mulige lineærkombinasjoner av vektorer i av typen {x | xi >= 0, i=1,2,...,n} også skal være av samme type, dvs bare ha positive elementer.

Men, hvis du allerede vet at et vektorsett er med i et eller annet propert underrom, så vil alle mulige lineærkombinasjoner av disse vektorene også være med i det samme underrommet.

Endret:
Så ikke det siste du skrev, men er har vanskelig for å forstå den siste setningen. Viser ikke mitt eksempel at det ikke er riktig?