Lineær algebra

[PeerGynt]

Jeg må ha at alle mulige lineærkombinasjoner av vektorer i av typen {x | xi >= 0, i=1,2,...,n} også skal være av samme type, dvs bare ha positive elementer.

Dette er ikke noedvendig. Det eneste som kreves for medlemskap i underrommet W er at vektorene er en linear kombinasjon, f.eks:

Definerer vektorrommet V slik at elementene til enhvaer vektor, x, alltid er stoerre eller lik null:
{x | xi >= 0, i=1,2,...,n}

Har, for enkelhets skyld, to vektorer i V: x og y

Definerer vektorrommet W som alle mulge lineaere kombinasjoner av x og y.

u = k[sub]1[/sub]*x + k[sub]2[/sub]*y
v = c[sub]1[/sub]*x + c[sub]2[/sub]*y
u + v = (k1+c1)x + (k2+c2)y
u + v er en lineaer kombinasjon og er derfor med i W.

kv = kc1x + kc2x
kv er en lineaer kombinasjon og er derfor med i W

..og vi ser at W er et underrom av V selv om W inneholder vektorer som ikke er med i V.

_

[Bernoulli]

Det du gjør er at du finner et underrom av underrommet. For å teste om vektorrommet def av {x | xi >= 0, i=1,2,...,n} faktisk er et underrom av R[sup]n[/sup], så må begge de to punktene som jeg skrev opp tidligere gjelde. Hvis en eller begge ikke gjelder, så er ikke dette et underrom.

[PeerGynt]

Ja, men det underrommet du har beskrevet er ikke det samme som underrommet W= "alle lineare kombinasjoner av..". For W, så holder teoremet beskrevet tidligere. Reglene om addisjon og multiplikasjon med en skalar ligger implisitt i teormet.

[Bernoulli]

Det underrommet du beskriver, W, er faktisk R[sup]n[/sup] selv. Kan underrommet være "større" enn det opprinnelige vektorrommet da? Er feks R[sup]4[/sup] et underrom av R[sup]2[/sup] ?[/code]

[PeerGynt]

Det underrommet du beskriver, W, er faktisk R[sup]n[/sup] selv.

Ja dette er ofte tilfellet, men da må W også "utspenne" (er dette det riktige ordet?) R[sup]n[/sup]. F.eks. er vektorrommet W = "alle mulige lineaere kombinasjoner av [1,2,3] og [1,1,3]" det samme som R[sup]3[/sup]?

Kan underrommet være "større" enn det opprinnelige vektorrommet da?

Jeg syntes også dette er intuitivt problematisk, men det er ingenting innen definisjonen (addisjon og multiplikasjon med skalar) som tilsier at dette ikke kan vaere tilfellet.

[PeerGynt]

Dette ble litt upresist. Mer presist er: Dersom W og R[sup]n[/sup] skal vaere ekvivalente så må vektorene som danner den lineare kombinasjonen for W utgjoere en basis for R[sup]n[/sup]. For R[sup]3[/sup], som i den opprinnelige oppgaven her, trenger vi da tre lineaert uavhengige vektorer som utspenner R[sup]3[/sup].

[ThomasB]

Er et par misforståelser ute og går her, ser ut som dere snakker forbi hverandre.

"Mengden av" vektorer med positive komponenter er IKKE et vektorrom, og derfor IKKE et underrom av R[sup]n[/sup]. Som Bernoulli nevnte er dette fordi (-1)*(vektor i mengden) ikke ligger i den samme mengden.
Et underrom kan ikke være større enn rommet det ligger i.

Men som PeerGynt sier litt upresist:
"Alle mulige lineærkombinasjoner av vektorer med positive komponenter er vektorrom"

Det du vel snakker om her er å "utspenne" rommet. Det du kan si er at vektorene [1,0,0], [0,1,0] og [0,0,1] "utspenner" R[sup]3[/sup]. Men du må passe på å skille mellom "mengden av" vektorer og, "alle lineærkombinasjoner av".

"Mengden" av alle vektorer med positive komponenter er i to dimensjoner 1. kvadrant, og dette er ikke et vektorrom, som Bernoulli påpeker.
Men vektorene [1,0] og [0,1] utspenner hele planet.
Dersom du feilaktig tror at 1. kvadrant ER et underrom av planet, ser det ut som om vektorene i underrommet utspenner et større rom enn rommet de ligger i, dette er IKKE mulig, og feilantakelsen er at 1. kvadrant er et vektorrom.

[PeerGynt]

... og feilantakelsen er at 1. kvadrant er et vektorrom.

Det er korrekt som ThomasB sier.

For å oppsummere:

Dersom v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]r[/sub] er vektorer i et vektorrom V, så er settet av alle lineaere kombinasjoner av v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]r[/sub] et underrom av V

For å si som Sven Stray engang sa: Det jeg egentelig mente å si var at..

det er ikke noedvendig at v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]r[/sub] danner et underrom av V. Det er heller ikke noedvendig at v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]r[/sub] utspenner V. Teoremet ovenfor er gyldig slik det står og kan brukes til å loese den opprinnelige oppgaven her veldig enkelt.

_