matematikk.net

Hey, jeg prøver å løse denne oppgaven, men får feil svar. Så jg lurte på om det er noen her som kunne være så snill og prøve å gi meg et løsningsforslag:)

oppgaven;
Finn vinklene u, v er elementær til [0, [symbol:pi] ]

sin (x+u) + cos (x+v) = [symbol:rot] 2 cosx

for alle x.

sin (x+u) + cos (x+v) = sin x cos u + sin u cos x + cos x cos v - sin x sin v.

Altså er likningen ekvivalent med

(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.

Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må

(1) cos u - sin v = 0

og

(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.

Dermed blir

sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]

1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,

som i kombinasjon med (2) gir

(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.

Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:

(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).

Tusen takk, u skrev dette veldig forståelsesfullt..
Men i fasiten står det slik; u = v = [symbol:pi] /4
hvorfor er det bare dette alternatviet som er riktig og ikke de andre?

Takk:)

Fasitsvaret er rett ettersom du jo har skrevet (noe jeg overså) at [tex]u,v \in [0,\pi].[/tex] Dermed er den andre løsningen (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4) uaktuell.

aha.. sant det. Takker!!!!!!!;)

Solar Plexsus skrev:sin (x+u) + cos (x+v) = sin x cos u + sin u cos x + cos x cos v - sin x sin v.

Altså er likningen ekvivalent med

(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.

Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må

(1) cos u - sin v = 0

og

(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.

Dermed blir

sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]

1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,

som i kombinasjon med (2) gir

(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.

Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:

(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).

Hvordan kommer man seg fra

Solar Plexsus skrev: (1) cos u - sin v = 0

og

(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.

til

Solar Plexsus skrev: sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]

Finn et uttrykk for sinv fra (1) og et uttrykk for cos v fra (2) også kvadrer og adder.

Vet ikke om jeg helt skjønte det du mente nå, men jeg fant en egen vei. (selvsagt en mulighet at jeg gjorde slik du mente), men jeg endte i alle fall opp med riktig svar.

Ingenting er bedre enn å finne svaret selv:)

Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:

(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]

(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

thmo skrev:Ingenting er bedre enn å finne svaret selv:)

Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:

(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]

(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

Skal se mer på den siden, takk!

Forresten, vil det ikke være lettere å gå fra
[tex]sin^2v=cos^2u[/tex]
[tex]cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

til
[tex]sin^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]? Ser tilsynelatende ut til at det gir samme resultat?

Det er nok bare tilfeldig siden sin[sup]2[/sup]v og cos[sup]2[/sup]v er lik i dette tilfellet. Men de er ikke alltid det og da kan du ikke sette de lik hverandre.