finne k verdi som gjør at linjen tangerer sirklen

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

finne k verdi som gjør at linjen tangerer sirklen

Innlegg Gabriel » 20/06-2004 17:36

Hei,

Har et spm.:

En likning til en sirkel: x^2+(y-3)^2=25 og parameterfremstilling til en linje: x=t og y=k+2t

En skal finne k verdi som gjør at linjen tangerer sirklen... Her sitter jeg litt fast.

I fasit er svaret

3+5*kvadratrotten av 5 og 3-5*kvadratrotten av 5

Jeg legger t=1 og prøver og finne K, jeg har skjønt at radien som er 5 må ha noe betydning i løsningen men klarer ikke og gøre dette metodisk..

På forhånd takk!

mvh Alex
Gabriel offline

Innlegg dischler » 20/06-2004 21:56

Vi har altså to funksjoner som skal tangere hverandre:

y = 3 - [rot][/rot](25 - x[sup]2[/sup]) (nederste halvdel av sirkelen)
y = 2x+k (linjen)

For at de skal tangere hverandre i et punkt må to krav være oppfylt:
1. felles punkt (at de faktisk har et felles punkt)
2. samme derivert i dette punktet. Dette sørger for at de TANGERER, siden det krever at de har samme stigning i dette punktet. ("stigning = derviert")

Finner felles punkt ved å sette:
3 - [rot][/rot](25 - x[sup]2[/sup]) = 2x+k

Samme derivert gir:
x/[rot][/rot](25 - x[sup]2[/sup]) = 2

Vi har nå to ligninger med to ukjente (x og k)

Vi løser den nederste ligningen og får:
x = 2[rot][/rot](5)

Setter inn i den første og får:
k = 3 - 5[rot][/rot](5)

Tangeringspunktet du nå har funnet tilsvarer et punkt på den nedre halvdelen av sirkelen. Det andre punktet som befinner seg på den øvre halvdelen av sirkelen finner du ved å bruke ligningen for øvre halvdel som er:
y = 3 + [rot][/rot](25 - x[sup]2[/sup]) (altså med plusstegn foran rotuttrykket)
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Innlegg Gjest » 22/06-2004 14:35

Her falt jeg:

Finner felles punkt ved å sette:
3 (-) √(25 - x2) = 2x+k

En bytter fortegn etter hvor på sirklen nedre/øvre? Om det er slik så valgte du nedre halvdel, hvorfor?


Samme derivert gir:
x/√(25 - x2) = 2

Hva skjer her? ("x/" hva er det?) deriverer du på begge sider?

Vi løser den nederste ligningen og får:
x = 2√(5)

Setter inn i den første og får:
k = 3 - 5√(5)

Forstår ikke helt hovrdan du kommer frem til dette? ta det "step by step"... kanskje det jeg som er litt sløv med dreivasjon!

Tangeringspunktet du nå har funnet tilsvarer et punkt på den nedre halvdelen av sirkelen. Det andre punktet som befinner seg på den øvre halvdelen av sirkelen finner du ved å bruke ligningen for øvre halvdel som er:
y = 3 + √(25 - x2) (altså med plusstegn foran rotuttrykket)

Hvorfor trenger jeg og finne en "K" verdi når jeg bare trenger å gjøre om likningen til en funksjonsutrykk
Gjest offline

Innlegg ThomasB » 24/06-2004 10:50

Anonymous skrev:En bytter fortegn etter hvor på sirklen nedre/øvre? Om det er slik så valgte du nedre halvdel, hvorfor?

Hvis du leser slutten av svaret hans så ser du at du kan se på både øvre og nedre halvdel av sirkelen, du finner ett svar for hver del

Samme derivert gir:
x/√(25 - x2) = 2

Hva skjer her? ("x/" hva er det?) deriverer du på begge sider?

Har du ikke lært å derivere røtter, samt kjerneregelen?
([rot][/rot](f(x))' = f'(x)/2[rot][/rot]f(x)


Vi løser den nederste ligningen og får:
x = 2√(5)

Setter inn i den første og får:
k = 3 - 5√(5)

Forstår ikke helt hovrdan du kommer frem til dette? ta det "step by step"... kanskje det jeg som er litt sløv med dreivasjon!


Det eneste som skjer her er løsing av to likninger med to ukjente, ren innsetting. Ingen derivasjon eller noe sånt.
ThomasB offline
Guru
Guru
Innlegg: 257
Registrert: 18/03-2004 18:34

Innlegg dischler » 29/06-2004 01:27

det stemmer at jeg i løsningen min hoppet over de fleste detaljer, men det skyldes både at jeg er litt lat og at dess mer jeg skriver dess vanskeligere blir det å få tak i det viktige i løsningen.

Hele oppgaven består bare i å skrive om linjen og sirkelen til funksjonsuttrykk i planet (slik jeg gjør øverst), og bruke disse to egenskapene: (1) Felles skjæringspunkt (2) Felles derivert i dette skjæringspunktet.

Hvis du har forstått at dette løser oppgaven så er egentlig oppgaven løst. Da gjenstår det bare litt rutinearbeid... :wink:

Derson du ikke er med på løsningsideen, trenger du ikke kaste bort tid på å lure på hvordan utregningene i sin fulle og hele prakt ser ut, ettersom de ikke inneholder noe særlig interessant... (bare standardteknikker for å løse ligninger)

men siden jeg allerede har skrevet ganske mye kan i hvertfall vise deg hvordan jeg fant x:

starter med:
x/[rot][/rot](25 - x[sup]2[/sup]) = 2 (<-- Dette uttrykket får jeg fra prinspipp 2, ved at jeg deriverer hver av funksjonsuttrykkene for seg og setter dem lik hverandre)

ganger opp rotuttrykket:
x = 2[rot][/rot](25 - x[sup]2[/sup])

opphøyer begge sider i annen:
x[sup]2[/sup] = 4(25 - x[sup]2[/sup])

ganger ut og flytter over leddet med x i andre:
5x[sup]2[/sup] = 100

x[sup]2[/sup] = 20 ( = 2*2*5)

x = 2[rot][/rot](5)

Sånn, som du ser var det ikke noe spennede matematikk her.....

Når det gjelder diskusjonen om øvre og nedre sirkel får du bare prøve å tegne opp med papir og blyant og overbevise deg om at det må bli riktig. Har dessverre ikke tilgang på programmer for å tegne funksjoner på PC-en jeg sitter på nå...

x/ betyr forøvrig x delt på. Hvordan skriver du inn dette på en kalkulator???
dischler offline
Guru
Guru
Innlegg: 242
Registrert: 01/03-2004 10:11

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 83 gjester