Inhomogene Differensielligning!

[psir]

Heisann, jeg har endel problemer med de inhomogene differensielligningene.
Her er ligningen:

2y` + 5y = 10t

y(o) = 3.

1. Finne den Homogene løsningen
2. Finne den partielle løsningen
3. Y(t) = Yh(t) + Yp(t)

Homogene løsningen = Ce^-2,5t

OK! MITT store problem, er at jeg klarer bare ikke å finne den partielle løsningen. Jeg har sett på mange løsningsforslag og lignende, men jeg får det ikke til!

Skriv steg for steg hva dere ville gjort, og detaljert.

Jeg skal ha eksamen i morgen, så hvis noen kunne ha hjulpet meg, hadde det blitt satt stort pris på!

[espen180]

For å finne C setter du t=0 og løser for C slik at y(0)=3.

[psir]

Nå er det ikke den homogene løsningen jeg trenger hjelp til, men den partielle løsningen. Jeg vet dessverre overhodet ikke kordan man gjør det riktig :/

Altså:

2y` + 5y = 10t

Partielle løsningen Yp(t), HVA ER Yp(t)? Og hvordan kom du fram til svaret!

[sirins]

Den homogene løsningen som du har funnet, er den som tilfredsstiller diff.ligningen [tex]2y \prime + 5y = 0[/tex].

Den partielle løsningen skal tilfredsstille [tex]2y \prime + 5y = 10t[/tex].

Altså en funksjon y(t) som ganget med 5 pluss 2 ganger den deriverte av seg selv skal bli lik 10t. Siden høyresiden ser ut slik den gjør, kan man anta at den partielle løsningen ser omtrent slik ut: [tex]At + B[/tex]. Så må du finne A og B.

Hjalp det noe?

[meCarnival]

Partielle løsningen kan heller ikke være en del av den generelle løsningen... Det er viktig

[psir]

Er det mulig at noen av dere kunne løst denne? slik at jeg kunne sett hvordan dere gjør det? :p

[espen180]

Jeg ville brukt metoden med Integrerende Faktor her. Vet du åssen det fungerer?

[psir]

Nei det vet jeg ikke, forklar!

[espen180]

Ok, jeg hinter deg i riktig retning.

Først setter du opp ligningen slik:

[tex]y^\prime+p(x)y=q(x)[/tex]
(x kan også være t eller en annen variabel)

Så må du gange gjennom med noe slik at du kan bruke produktregelen for derivasjon i revers på venstresiden. Finn dette noe.

[psir]

offameg :'( gir snart opp, og nei jeg fant ikke det "noe".
Har jobbet så lenge med matte nå at jeg ikke klarer å tenke ordentlig...

Kan du vise \ forklare HELE inhomogene diff.ligningen?

[espen180]

Jeg løser heller en annen ligning, så kan du løse din egen med denne metoden.

Det noe du skulle finne var en integrerende faktoren.

[tex]y^\prime+\frac{y}{x}=2x[/tex]

Jeg løser denne for deg, så ser du:

Først løser vi denne ligningen:

[tex]u^\prime=\frac1x[/tex]

Den er lett.

[tex]u=\ln x[/tex]

Den integrerende faktoren blir så [tex]e^{\ln x}=x[/tex]. Vi ganger gjennom med denne:

[tex]xy^\prime+x\cdot\frac{y}{x}=2x^2 \\ xy^\prime+y=2x^2[/tex]

Hvis du ser etter, ser du at vi kan skrive ligningen som

[tex]\left(xy\right)^\prime=2x^2[/tex]

Vi kan nå integrere begge sidene med hensyn på x og få

[tex]xy=\frac{2}{3}x^3+C \\ y=\frac{2x^3+C}{3x}[/tex]


Nå kan du bruke denne metoden og løse din egen ligning.

[Gustav]

For en 1.ordens lineær diff.ligning på formen

[tex]y^,+a(x)y=b(x)[/tex] er generelt integrerende faktor gitt som

[tex]e^{\int a(x)\,dx}[/tex]

Multiplikasjon med integrerende faktor gir

[tex]y^,e^{\int a(x)\,dx}+a(x)ye^{\int a(x)\,dx}=b(x)e^{\int a(x)\,dx}[/tex].

Vi omskriver venstresiden:

[tex](ye^{\int a(x)\,dx})^,=b(x)e^{\int a(x)\,dx}[/tex]

Integrasjon gir

[tex]ye^{\int a(x)\,dx}=\int b(x)e^{\int a(x)\,dx}\,dx[/tex].

Deler vi på [tex]e^{\int a(x)\,dx}[/tex] får vi følgende formelle løsning

[tex]y=e^{-\int a(x)\,dx}\int b(x)e^{\int a(x)\,dx}\,dx[/tex]