Kompleks sirkel

[Eonsv]

Jeg har drevet på med å forberede meg til kalkulus kurset jeg skal ta til høsten, og kom over en eksamensoppgave som jeg har irritert meg over i noen dager. Den lyder:

Gitt tre komplekse tall [tex]z_1[/tex], [tex]z_2[/tex] og [tex]z_3[/tex], der [tex]z_1\neq z_2[/tex] og [tex]z_3[/tex] er midtpunktet mellom [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex]. La C være sirkelen gjennom [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] med sentrum i [tex]z_3[/tex]. Vis at et komplekst tall z ligger på C hvis og bare hvis [tex]\frac{z-z_1}{z-z_2}[/tex] er imaginær eller [tex]z=z_2[/tex].

Håper at jeg kan få en klarhet i hvordan jeg kan løse denne oppgaven. På forhånd takk!

[espen180]

Forslag: Begynn med å finne uttrykket for sirkelen, som jeg tror blir på formen [tex](\Re(z)+a)^2+(\Im(z)+b)^2=r^2[/tex]. Jeg overlater betemmelsen av konstantene a, b og r til deg.

Da har du et uttrykk for forholdet mellom den reelle og imaginære delen av z og kan plugge det rett inn i brøken og dra nødvendige konklusjoner.

[mrcreosote]

En annen mulighet: Vis at kvotienten mellom 2 komplekse tall er imaginær hvis og bare hvis vektorene talla representerer står normalt på hverandre, og bruk dette sammen med det du veit om periferi/sentralvinkler i en sirkel.

[Eonsv]

Takk for hjelpsomme svar! Fikk det til nå etter at jeg brukte metoden til mrcreosote.

Jeg har prøvd å bruke den metoden din, espen180, men uten mye hell. Hvis du hadde tatt deg tid til å vise hvordan man kan utføre beviset slik, hadde jeg satt stor pris på det. Har nemlig irritert meg grønn i en del dager over å ikke få det til på den måten.