sin z = 100 (kompleks funksjon)
trenger hjelp her =)
det jeg har prøvd:
bruke sammenhengen sin z = 1/2i (e^iz - e^-iz) til å sette opp andregradslikningen e^2iz - 200i e^iz - 1 = 0
Når jeg løste fikk jeg e^iz [symbol:tilnaermet] 200i og 0.
Er jeg på riktig spor? Hvordan skal jeg isåfall tolke svarene 0 og 200i for videre løsning med tanke på realdel og imaginærdel? Jeg gjetter at imaginærdel da består av (ln 200)i men hva med realdel?
Kompleks funksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]2i\sin z =e^{zi}-e^{-zi}=200i[/tex]
Her setter vi [tex]z=a+ib[/tex] slik at uttrykket omformes til
[tex]e^{(a+ib)i}-e^{-(a+ib)i}=200i[/tex]
[tex]e^{-b}e^{ai}-e^be^{-ai}=200i[/tex]
[tex]e^{-b}(\cos(a) + \sin(a)i)-e^b(\cos(a)-\sin(a)i)=200i[/tex]
[tex](e^{-b}-e^{b})\cos(a)+(e^{-b}+e^{b})\sin(a)i=200i[/tex]
Sammenlign realdel og imaginærdel.
Edit. skrivefeil retta opp
Her setter vi [tex]z=a+ib[/tex] slik at uttrykket omformes til
[tex]e^{(a+ib)i}-e^{-(a+ib)i}=200i[/tex]
[tex]e^{-b}e^{ai}-e^be^{-ai}=200i[/tex]
[tex]e^{-b}(\cos(a) + \sin(a)i)-e^b(\cos(a)-\sin(a)i)=200i[/tex]
[tex](e^{-b}-e^{b})\cos(a)+(e^{-b}+e^{b})\sin(a)i=200i[/tex]
Sammenlign realdel og imaginærdel.
Edit. skrivefeil retta opp
Sist redigert av Gustav den 16/10-2009 21:01, redigert 1 gang totalt.
Hm,
Hvis [tex]e^{b}=e^{-b}[/tex] er [tex]b=0[/tex] og da er
[tex]\sin(a)=100[/tex] som er umulig siden a er reell.
Eneste mulighet er at
[tex]\cos(a)=0[/tex] som gir at [tex]a=\frac{\pi}{2}+\pi n[/tex] for heltallige n.
Da er [tex]\sin(a)=(-1)^{n}[/tex] så [tex](e^{-b}+e^b)(-1)^n=200[/tex].
Siden eksponensialfunksjonen er positiv for alle verdier må n være partallig, så løsningene begrenser seg til [tex]a=\frac{\pi}{2}+2\pi n[/tex] for heltallige n.
Da er [tex]e^{-b}+e^b=200[/tex]
Her kan definisjonen på hyperbolsk cosinus brukes..
Som gir at [tex]b=arccosh(100)[/tex], to ulike verdier,
så svaret ditt skulle stemme, ja.
Hvis [tex]e^{b}=e^{-b}[/tex] er [tex]b=0[/tex] og da er
[tex]\sin(a)=100[/tex] som er umulig siden a er reell.
Eneste mulighet er at
[tex]\cos(a)=0[/tex] som gir at [tex]a=\frac{\pi}{2}+\pi n[/tex] for heltallige n.
Da er [tex]\sin(a)=(-1)^{n}[/tex] så [tex](e^{-b}+e^b)(-1)^n=200[/tex].
Siden eksponensialfunksjonen er positiv for alle verdier må n være partallig, så løsningene begrenser seg til [tex]a=\frac{\pi}{2}+2\pi n[/tex] for heltallige n.
Da er [tex]e^{-b}+e^b=200[/tex]
Her kan definisjonen på hyperbolsk cosinus brukes..
Som gir at [tex]b=arccosh(100)[/tex], to ulike verdier,
så svaret ditt skulle stemme, ja.