[symbol:sum] fra n=1 til [symbol:uendelig] , (ln n/e[sup]n[/sup])
Jeg skal bruker sammenligningst test til å finne om den convergere?
An / Bn ? jeg skjønner ikke hvordan jeg kan få det til...
Svaret skal være 2/e bare hm... Noen som er flinke på rekker?
Ta i mot med stor takk!
Series
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du kjenner formen på kurven y=ln(x) ? Den har en derivert som minker når x vokser og går mot 0 i grensen. Hvis du sammenligner den med den rette linja y=x, så er det naturlig at den rette linja før eller siden overstiger ln(x) for alle store x. Tegn grafen til ln(x) så ser du det lettere. På samme måte blir det for y=3\ln(x), den har også en derivert (3/x) som nærmer seg 0 når x vokser.
Så vi kan mer eller mindre intuitivt slutte at 3ln(x)<x for alle x større enn en endleig k. Da kan vi bruke sammenligningstesten på alle ledd i rekka som oppfyller ulikheten siden konvergens/divergens ikke endrer seg dersom vi ser bort fra et endelig antall endelige ledd.
La så 3ln(n)<n. Da er n^3<e^n så 1/(e^n)<1/n^3 og [tex]\frac{ln(n)}{e^n}<\frac{n}{3n^3}=\frac{1}{3n^2}[/tex].
Siden vi vet at det siste uttrykket er leddene i en konvergent rekke, vil rekka konvergere ut fra sammenligningstesten.
Så vi kan mer eller mindre intuitivt slutte at 3ln(x)<x for alle x større enn en endleig k. Da kan vi bruke sammenligningstesten på alle ledd i rekka som oppfyller ulikheten siden konvergens/divergens ikke endrer seg dersom vi ser bort fra et endelig antall endelige ledd.
La så 3ln(n)<n. Da er n^3<e^n så 1/(e^n)<1/n^3 og [tex]\frac{ln(n)}{e^n}<\frac{n}{3n^3}=\frac{1}{3n^2}[/tex].
Siden vi vet at det siste uttrykket er leddene i en konvergent rekke, vil rekka konvergere ut fra sammenligningstesten.