Komplekst linjeintegral

[Georgio]

Kveldens siste oppgave.

Linjeintegral:
[symbol:integral] Re z dz

Hvor C er området y = x^2 fra 0 til 1+i

Da er problemet mitt hvordan jeg skal tenke for å sette opp dette og komme igang.

[Gustav]

La x=t med [tex]t\in [0,1][/tex]

Da er [tex]z=x+iy=t+it^2[/tex] og

[tex]\frac{dz}{dt}=1+2ti[/tex],

Så

[tex]\int_C \Re(z) \,dz=\int_0^1 t\,(1+2ti)\,dt[/tex]

[Gustav]

Tenkemåten er å finne en kompleks parametrisering for det linjestykket du skal integrere over. Det blir ganske så analogt med vanlig parametriseringen, men forskjellen er at vi bytter ut vektorer med komplekse tall; istedenfor å skrive [tex]\vec{r}(t)=\langle t,t^2\rangle [/tex] (som er parametriseringen av kurven y=x^2 i det reelle planet) bruker vi [tex]w(t)=t+t^2 i[/tex].

[Georgio]

Mange [symbol:uendelig] takk!!

[Georgio]

Oppfølgern!

Hva med linjeintegralet

[symbol:integral] Re z dz der C: den korteste veien fra 0 til 1+i.
Hva blir annerledes her?

[Gustav]

Forskjellen blir jo parametriseringa, den blir jo z(t)=t+it

[Georgio]

er det pga den raskeste veien fra 0 til 1+i er en rett linje y=x?

[Gustav]

er det pga den raskeste veien fra 0 til 1+i er en rett linje y=x?

Ja, blir vel det.

[Georgio]

Ok! Er ikke så dreven på parametriseringer. Takk for all hjelpen