optimaliseringsproblem

[Plank]

Fra en borerigg B til havs, 24 km fra kysten, skal det legges en rørledning for olje til et raffineri på land. Raffineriet R ligger ved kysten 40 km fra det punktet på land som er nærmest boreriggen. Det koster 600 000 kr per km å legge rørledningen på havbunnen, mens det koster 360 000 per km å legge rørledningen på land. Hvordan skal rørledningen legges for å minimalisere kostnadene, og hva er kostnaden da?

egen vurdering:
Strekker man rette 2 linjer mellom raffineriet og boreriggen skal den linja som "ikke er på land" minimaliseres, og den andre maksimaliseres. Har problemer med å se hvordan jeg skal gripe ann oppgaven. Antar det skal brukes et intergral, der pytagoras spiller inn på noen måte.

Noen forslag?:)

[Betelgeuse]

Optimaliseringsproblemer løses ved at du uttrykker problemet ditt som en funksjon av en eller annen størrelse for deretter å derivere funksjonen og finne maksimums og minimumspunkter på denne funksjonen, altså der [tex]f^\prime = 0[/tex] og dette vil da være dine optimale verdier. Det inngår veldig ofte en del geometri også, der du f.eks må bruke pythagoras for å uttrykke en størrelse ved hjelp av en annen.

[Realist1]

Føler vi trenger illustrasjon for å hjelpe deg med denne eksakte oppgaven. Tenker man seg en rett linje fra raffineriet til boreriggen, som også går gjennom det punktet å land som er nærmest boreriggen, så er det jo bare til å legge rørene rett frem. Men du finner vel kanskje ut av det nå.

[Plank]

Det er jo det åpenbare, men det virker nesten for lett at de to linjene danner en rettvinklet trekant!

Problemet mitt er at jeg sliter med å få et utrykk av det.

Jeg regner med at det ser noe slik ut:

z^2=x^2+y^2 (deriverer implisitt)----> 2z*z'=2y*y'+2x*x'

Er jeg på jordet med dette?

[Dinithion]

Hvordan kom du fram til utrykket?

Siden prisen er forskjellig om den er lagt i sjø eller på land, må kostnadene for røret bli tatt med i regnestykket. Det har seg slik at hvis du legger hele røret i sjøen, blir det dyrt, legger du den strakeste veg til land blir det dyrt. Du må finne ut et punkt mellom de to ilandføringspunktene som gir billigst totalkostnad.

[Plank]

Tok i betraktning at rørene dannet en rettvinklet trekant, men ser jo problemet med kostnaddene!

er helt blank for å være ærlig!:P

[Andreas345]

Slik er det jeg ser for meg problemet, hvor C=boreriggen, B= raffineriet, A=er det punktet på land som er nærmest boreriggen og D er punktet ledningene må treffe AB slik at kostnaden blir minst mulig. (Merk at punktet D kan ligge hvor som helst, tegningen er bare til hjelp).

Kall [tex]AD=x[/tex], og ettersom [tex]AB=40 km[/tex] er [tex]DB=40 - x[/tex]

Punktene ADC danner en rettvinklet trekant, hvor [tex]AC=24[/tex]

Følgelig blir CD, ved pytagoras = [tex]sqrt{24^2+x^2}[/tex]

Ut i fra dette kan vi lage en funksjon for kostnaden K

[tex]K(x)=600 000 \cdot sqrt{24^2+x^2}+360 000\cdot (40-x)[/tex] Hvor [tex] x \in [0,40][/tex] (Siden D må ligge på AB).

Bruk denne funksjonen til å finne det kritiske punktet du leiter etter.

[Plank]

Hjertelig takk!

Denne må da deriveres sant ?

[Andreas345]

Jepp, ta en titt på det Betelgeuse skrev.