Oppgaven går ut på å finne v(t)
har kommet frem til et utrykk mg-kv^2=0
- Setter opp ligningen slik mv'+kv^2=mg ,v(0)=0
Hva blir den karakteristiske ligningen her?
Diffligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Betelgeuse
- Ramanujan
- Innlegg: 260
- Registrert: 16/04-2009 21:41
Ser ikke helt hvordan du kommer fra uttrykket ditt til differensiallikningnen... Videre lurer jeg på hvilket fysisk problem du faktisk beskriver? Er det slik at g, som er tyngdeakselereasjonen varierer? Isåfall har du rett i at [tex]g = v^\prime[/tex]. Jeg prøvde meg på dette og endte opp med en separabel difflikning.
[tex]mg - kv^2 = 0 \Rightarrow \frac{dv}{dt} = \frac{k}{m}v^2 \Rightarrow \int \frac{1}{v^2}dv = \int \frac{k}{m} dt[/tex]
[tex]mg - kv^2 = 0 \Rightarrow \frac{dv}{dt} = \frac{k}{m}v^2 \Rightarrow \int \frac{1}{v^2}dv = \int \frac{k}{m} dt[/tex]
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Et legme som er i fritt fall blir påvirket av kraften -kv^2
-legeme har massen m
-ved tidspunktet t=0 er hastigheten v(0)=0
skal bruke m*a til å finne v(t):)
Det som ødelegger for meg er at v'en er i andre potens:P
F= m v' ->mg-kv^2=mv' ?
-legeme har massen m
-ved tidspunktet t=0 er hastigheten v(0)=0
skal bruke m*a til å finne v(t):)
Det som ødelegger for meg er at v'en er i andre potens:P
F= m v' ->mg-kv^2=mv' ?
kan man ikke skrive ?
[tex]\frac{dv}{{(\sqrt{mg}-\sqrt kv})(\sqrt{mg}+\sqrt kv)}=\frac{dt}{m}[/tex]
[tex]\frac{dv}{{(\sqrt{mg}-\sqrt kv})(\sqrt{mg}+\sqrt kv)}=\frac{dt}{m}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Betelgeuse
- Ramanujan
- Innlegg: 260
- Registrert: 16/04-2009 21:41
Hvordan kom du frem til den Janhaa?
Er så lenge siden jeg har hatt noe fysikk i det hele tatt så jeg husker ikke helt, men tenker meg at leddet [tex]-kv^2[/tex] er bidraget fra luftmotstand? Isåfall blir det ikke riktig å ha utgangspunktet:
[tex]\sum F = mg - kv^2 = ma[/tex]
Akkurat som du skrev plank.
Jeg tror ikke du kan løse likningen ved karakteristisk likning eller noen av de andre lineære medtodene akkurat fordi at den ikke er lineær. Jeg ser heller ikke hvordan den nå kan separeres.
Er så lenge siden jeg har hatt noe fysikk i det hele tatt så jeg husker ikke helt, men tenker meg at leddet [tex]-kv^2[/tex] er bidraget fra luftmotstand? Isåfall blir det ikke riktig å ha utgangspunktet:
[tex]\sum F = mg - kv^2 = ma[/tex]
Akkurat som du skrev plank.
Jeg tror ikke du kan løse likningen ved karakteristisk likning eller noen av de andre lineære medtodene akkurat fordi at den ikke er lineær. Jeg ser heller ikke hvordan den nå kan separeres.
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
-
Andreas345
- Grothendieck
- Innlegg: 828
- Registrert: 13/10-2007 00:33
[tex]m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2[/tex]
[tex]m\frac{dv}{dt}=m \left (g-\frac{k}{m}v^2\right)[/tex]
[tex]\frac{dv}{dt}=\left (g-\frac{k}{m}v^2\right)[/tex]
[tex]\int \frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\int dt [/tex]
[tex]g-\frac{k}{m}v^2=\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )[/tex]
[tex]\frac{1}{\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )}=\frac{A}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}+\frac{B}{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}[/tex]
[tex]1=A\cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) + B\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right )[/tex]
[tex]x=\frac{sqrt{g}}{sqrt{\frac{k}{m}}}: \ \ \ 1=2A\cdot sqrt{g} \Rightarrow A=\frac{1}{2sqrt{g}}[/tex]
[tex]x=-\frac{sqrt{g}}{sqrt{\frac{k}{m}}}: \ \ \ 1=2B\cdot sqrt{g} \Rightarrow B=\frac{1}{2sqrt{g}}[/tex]
[tex]\int \frac{dv}{\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )}=\int dt [/tex]
[tex]\int \frac{1}{2sqrt{g}\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v\right )}+\frac{1}{2sqrt{g}\cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v\right )} \ dv=\int \ dt[/tex]
[tex]\frac{ln |{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v|}}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}-\frac{ln |sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v|}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}=t+C[/tex]
[tex]\frac{1}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}\cdot ln \left | \frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v} \right |=t+C[/tex]
[tex]ln \left | \frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v} \right |=2\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C[/tex]
[tex]\frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}=C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}[/tex]
Kall [tex]C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}[/tex] for z, for å gjøre regningen litt kjappere.
[tex]\frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}=z[/tex]
[tex]sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \Leftrightarrow sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot sqrt{g}-z\cdot sqrt{\frac{k}{m}}v [/tex]
[tex]sqrt{\frac{k}{m}}v+z\cdot sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot sqrt{g}-sqrt{g} \Leftrightarrow sqrt{\frac{k}{m}}v(z+1)=sqrt{g}(z-1)[/tex]
[tex]v=\frac{sqrt{g}}{sqrt {\frac{k}{m}}}\cdot \frac{z-1}{z+1}[/tex]
[tex]\large v(t)=sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot \frac{C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}[/tex]
[tex]v(0)=0 \Leftrightarrow sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{C-1}{C+1}=0 \Leftrightarrow C=1[/tex]
[tex]\large v(t)=sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot \frac{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}[/tex]
Ps: Gøy oppgave, men litt av et tex mareritt..
[tex]m\frac{dv}{dt}=m \left (g-\frac{k}{m}v^2\right)[/tex]
[tex]\frac{dv}{dt}=\left (g-\frac{k}{m}v^2\right)[/tex]
[tex]\int \frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\int dt [/tex]
[tex]g-\frac{k}{m}v^2=\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )[/tex]
[tex]\frac{1}{\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )}=\frac{A}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}+\frac{B}{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}[/tex]
[tex]1=A\cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) + B\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right )[/tex]
[tex]x=\frac{sqrt{g}}{sqrt{\frac{k}{m}}}: \ \ \ 1=2A\cdot sqrt{g} \Rightarrow A=\frac{1}{2sqrt{g}}[/tex]
[tex]x=-\frac{sqrt{g}}{sqrt{\frac{k}{m}}}: \ \ \ 1=2B\cdot sqrt{g} \Rightarrow B=\frac{1}{2sqrt{g}}[/tex]
[tex]\int \frac{dv}{\left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v \right )}=\int dt [/tex]
[tex]\int \frac{1}{2sqrt{g}\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v\right )}+\frac{1}{2sqrt{g}\cdot \left (sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v\right )} \ dv=\int \ dt[/tex]
[tex]\frac{ln |{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v|}}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}-\frac{ln |sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v|}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}=t+C[/tex]
[tex]\frac{1}{2sqrt{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}\cdot ln \left | \frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v} \right |=t+C[/tex]
[tex]ln \left | \frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v} \right |=2\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C[/tex]
[tex]\frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}=C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}[/tex]
Kall [tex]C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}[/tex] for z, for å gjøre regningen litt kjappere.
[tex]\frac{sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v}{sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v}=z[/tex]
[tex]sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot \left (sqrt{g}-sqrt{\frac{k}{m}}v \right ) \Leftrightarrow sqrt{g}+sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot sqrt{g}-z\cdot sqrt{\frac{k}{m}}v [/tex]
[tex]sqrt{\frac{k}{m}}v+z\cdot sqrt{\frac{k}{m}}v=z\cdot sqrt{g}-sqrt{g} \Leftrightarrow sqrt{\frac{k}{m}}v(z+1)=sqrt{g}(z-1)[/tex]
[tex]v=\frac{sqrt{g}}{sqrt {\frac{k}{m}}}\cdot \frac{z-1}{z+1}[/tex]
[tex]\large v(t)=sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot \frac{C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{C\cdot e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}[/tex]
[tex]v(0)=0 \Leftrightarrow sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{C-1}{C+1}=0 \Leftrightarrow C=1[/tex]
[tex]\large v(t)=sqrt{\frac{mg}{k}}\cdot \frac{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}-1}{e^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}+1}[/tex]
Ps: Gøy oppgave, men litt av et tex mareritt..
-
Betelgeuse
- Ramanujan
- Innlegg: 260
- Registrert: 16/04-2009 21:41
Jammen ser man det Andreas! Den var fin 
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]