Sannsynlighet/kombinatorikk

[Morgrothiel]

Hei, kunne noen hjulpet meg med denne oppgaven? Svaret skal forøvrig bli 156. Kunne trengt en forklaring slik at jeg forstår hvorfor man gjør som man gjør.

"How many even four-digit numbers can be formed from the digits 0, 1, 2, 5, 6, and
9 if each digit can be used only once? "

[Nebuchadnezzar]

Om man tenker at tallet ser slik ut [tex]abcd[/tex]

Hvor mange forskjellige tall kan vi ha for [tex]a[/tex] ?

Jo, svaret er [tex]4[/tex] forskjellige, nemlig [tex]1, 2, 5, 6, 9[/tex] Siden [tex]0[/tex] kan ikke stå på førsteplassen.

Hvor mange muligheter har vi på andreplassen ? Jo her har vi også [tex]4[/tex] muligheter, siden vi har brukt et tall. Om vi har brukt [tex]1,[/tex] så har vi
[tex]0, 2, 5, 6, 9[/tex] igjenn som muligheter.

På tredjeplassen har vi tre muligheter, siden vi har brukt et tall i forrige plassering.

På fjerde plassering av vi to mulige tall igjenn.
Dermed blir antall forskjellige tall

[tex]5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \, = \, 300 [/tex]

Som ikke stemmer med fasit, men jeg tror fasit tar feil i dette tilfellet ^^

[sirins]

Jeg er heller ikke enig med fasit, men jeg får 300

Antar at 9 også skal være med?

[Nebuchadnezzar]

Åpenbart skal 9 være med, fikser litt på tingene mine ^^

[sirins]

Huups, så ikke at det skulle være partall.. må fikse litt jeg og da

[sirins]

Jo, fasit er nok riktig. Dette er kanskje ikke den peneste måten å gjøre dette på, men here goes:


Av 6 mulige tall er det [tex]{6 \choose 4} = 15[/tex] forskjellige måter å trekke ut 4 tall. Av disse 15 er det [tex]{5 \choose 4} = 5[/tex] kombinasjoner som ikke inneholder 0, og 10 som inneholder 0.


Ser først på de 5 kombinasjonene som ikke inneholder 0. Disse er altså plukket ut fra tallene 1, 2, 5, 6, 9.


For disse kombinasjonene er det to muligheter:

1. De består av ett partallssiffer (2 eller 6) og tre oddetallssifre (1, 5 og 9).
Her er det [tex]{2 \choose 1} \cdot {3 \choose 3} = 2 \cdot 1 = 2[/tex] muligheter.
Siden det bare er ett partallssiffer i kombinasjonen, må dette stå på plass 4 for at kombinasjonen også skal danne et partall. Det er 3! måter å organisere de øvrige 3 sifrene.
Totalt antall partall som kan dannes: [tex]2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12[/tex]

2. De består av to partallssifre og to oddetallssifre.
Her er det [tex]{2 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} = 1 \cdot 3 = 3[/tex] muligheter.
Siden vi har to partallssiffer i denne kombinasjonen, er det 2 mulige siffer som kan stå på 4. plass. 3! muligheter for de øvrige sifrene = [tex]2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12[/tex]
Totalt antall partall som kan dannes: [tex]3 \cdot 12 = 36[/tex]


For de 10 kombinasjonene som inneholder 0 er det tre muligheter:

1. De består av ett partallssiffer og tre oddetallssifre.
Partallssifferet må være 0, oddetallssifrene må være 1, 5 og 9; altså 1 mulighet.
0 må stå på plass 4 for at kombinasjonen skal danne et partall. Det er 3! måter å organisere de øvrige 3 sifrene.
Totalt antall partall som kan dannes: [tex]1 \cdot 3! = 1 \cdot 6 = 6[/tex]

2. De består av to partallssifre og to oddetallssifre.
0 må være med, ellers er det [tex]{2 \choose 1} \cdot {3 \choose 2} = 2 \cdot 3 = 6[/tex] muligheter.
Dersom 0 står på siste plass, er det [tex]3 \cdot 2 \cdot 1 = 6[/tex] måter å organisere de tre andre sifrene på. Dersom det andre partallet står på siste plass er det [tex]2 \cdot 2 \cdot 1 = 4[/tex] måter å organisere de tre andre sifrene på (fordi 0 ikke kan stå først). Altså [tex]6+4=10[/tex] måter å omorganisere kombinasjonen på.
Totalt antall partall som kan dannes: [tex]6 \cdot 10 = 60[/tex]

3. De består av tre partallssifre og ett oddetallssiffer.
[tex]{3 \choose 3} \cdot {3 \choose 1} = 1 \cdot 3 = 3[/tex]muligheter.
Dersom 0 står på siste plass, er det [tex]3 \cdot 2 \cdot 1 = 6[/tex] måter å organisere de tre andre sifrene på. Dersom det andre partallet står på siste plass er det [tex]2 \cdot 2 \cdot 1 = 4[/tex] måter å organisere de tre andre sifrene på. Dersom det tredje partallet står på siste plass er det også [tex]2 \cdot 2 \cdot 1 = 4[/tex] måter å organisere de tre andre sifrene på. Altså [tex]6+4+4=14[/tex] måter å omorganisere kombinasjonen på.
Totalt antall partall som kan dannes: [tex]3 \cdot 14 = 42[/tex]

Til slutt legger vi sammen alt:
[tex]12 + 36 + 6 + 60 + 42 = 156[/tex]

[Markonan]

Innviklet problem! Jeg vet ikke om noen gode metoder for å løse dette i et enkelt, elegant regnestykke. Men som en sann matematiker er dette en fin mulighet til å "redusere problemet til noe man har løst før".

Jeg regner med at 0 kan stå først siden det ikke er spesifisert at man ikke kan gjøre det i oppgaven. Det kan jo være f.eks pinkoder.

Vi begynner 0,1,2 og 5 og trekker 4 tall. Vi får da 4*3*2*1 = 24 mulige kombinasjoner.
Vi har da 12 oddetall og 12 primtall.

Vi legger til 6 og trekker igjen 4 tall. Det er nå 5*4*3*2 = 120 muligheter.
Vi har tre mulige hendelser:
6 uteblir (og vi har de 24 mulighetene over): 12 oddetall.
6 erstatter et partall (0 eller 2): 12 + 12 = 24 oddetall.
6 erstatter et oddetall (1 eller 5): 6 + 6 = 12 oddetall.

Fra hvert av tilfellene får vi da:
12 + 24 + 12 = 48 oddetall.

Oi! Tellefeil!
Vi legger nå til 9 og trekker 4 tall med 360 mulige kombinasjoner.
Vi har tre mulige utfall.
9 uteblir: 12 oddetall.
9 erstatter et partall (0,2 eller 6): 48 + 48 + 48 = 144 oddetall.
9 erstatter et oddetall (1 eller 5): 24 + 24 = 48 oddetall.

Da får man:
12 + 144 + 48 = 204 oddetall.

Antall partall blir da: 360-204 = 156.

[sirins]

Vi legger nå til 9 og trekker 4 tall med 360 mulige kombinasjoner.
Vi har tre mulige utfall.
9 uteblir: 12 oddetall.
9 erstatter et partall (0,2 eller 6): 48 + 48 + 48 = 144 oddetall.
9 erstatter et oddetall (1 eller 5): 24 + 24 = 48 oddetall.

Dersom 9 uteblir så har du vel tilfellet fra over, hvor du la til 6? Altså 48 oddetall?

[Markonan]

Ja, jeg merket det var noe rusk der.
Ble litt påvirket av at jeg visste hva svaret var, og førte opp det første jeg gjorde som førte til 156. Den siste tellingen er litt forenklet, og derfor feil!

Siden du løste den, gidder jeg ikke gjør mer på min.