eksamensoppgave, fluksintegral

[pjuus]

T er området avgrenset av: x^2 + y^2 +z^2 =4 og x^2 + y^2 =1


Finn verdien av fluksintegrale:

I1 = [symbol:integral] [symbol:integral] F * n dS

n skal peke ut av T.

r(u,v) = [cosu,sinu,v]
for 0 <= u <= 2 [symbol:pi] og -[symbol:rot] 3 <= v <= [symbol:rot] 3


Spørsmål:
Det går helt fint å regne ut integralet. Det jeg lurer på er om hvordan man kan vite hvilken vei n peker? ut eller inn av T?

Jeg finner n slik:
ru x rv, og får: [cosu,sinu,0]

Hvilken vei peker denne?

[Thor-André]

Ser du har regnet på eksamen 2005, jeg har også sett på den samme eksamenen og lurer på det samme som deg...

Hvordan kan en se fra vektoren [tex] [cos u, sin u, 0 ] [/tex] at denne ikke peker inn mot z-aksen? (Eller ut/inn av T for den saks skyld)

Så en oppklaring i dette hadde vært utmerket!

[meCarnival]

Mener å huske at den alltid skal gå ut... Fluks er volumstrøm som vil trenge ut, min foreleser sa at tenk på det som væske som vil trenge ut av legemet, og dermed vil n følge i denne retningen, altså normalt på alle flater og ut av legemet... Men bare mener å huske og det rimelig klart, men ikke 100% om det er i alle tilfeller, men regner med det siden dere stusser på om n enten går inn eller ut...

[Gustav]

Antar denne [tex]\vec{r}(u,v)[/tex] du snakker om her er en parametrisering av sylinderflaten. Vi tenker sylinderkoordinater. Da er [tex]u[/tex] vinkelen mens [tex]v[/tex] er z-koordinaten. Vi vet at [tex]\vec{r}_u[/tex] og [tex]\vec{r}_v[/tex] er vektorer som peker tangensielt sylinderflaten i den retningen vi går i når vi øker variablene [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex]. Da gir høyrehåndsregelen for kryssprodukt at flatenormalen [tex]\vec{n}=\frac{\vec{r}_u\times \vec{r}_v}{|\vec{r}_u\times \vec{r}_v|}[/tex] peker ut av sylinderen. Siden området du skal integrere over er begrenset av en kule med radius 2 og en sylinder med akse langs z-aksen og radius 1, vil normalen slik den er definert over peke inn i integrasjonsområdet.

[Thor-André]

Aha, det var lurt! Jeg har ikke tenkt på [tex]\vec{r}_u[/tex] og [tex]\vec{r}_v[/tex] som tangentvektorer! Det vil si at hvis en hadde krysset i motsatt rekkefølge så hadde en ikke trengt å snu fortegnet for å få riktig fortegn?

meCarnival: For min del er det ikke problematisk å vite hvilken vei vektoren SKAL peke. Problemet er å vite hvilken retning vektoren har som du får ved kryssprodukt peker. Altså om denne peker riktig retning, inn eller ut.. Det er ikke så lett å se hvordan en vektor som kun består av variabler peker, synes jeg hvertfall...

[Gustav]

Ja, det stemmer det du sier.

[Thor-André]

Aha Da ble jeg 2 hakk klokere! Mange takk

[pjuus]

Jeg klarer ikke å skjønne hvordan du mener. Synes dette er ekstremt vanskelig å forstå :p Er det en lettere måte å forklare på?

I fasiten har de regnet ut kryssproduktet og ser av det at det er feil fortegn.

[Gustav]

En annen måte er forsåvidt å se direkte på vektoren (cos t, sin t, 0). Det er opplagt at denne vektoren representerer punkter på enhetssirkelen, og følgelig peker den ut av sylinderen eller ekvivalent inn i området T.