Finne alle vektorer som tilfredstiller et gitt kriterie

[Matteslusken]

Jeg har en lineær transformasjon T : R^2 > R^2 med en standard matrise A.

Skal finne alle vektorer x i R^2 slik at T(x) = w, hvor w har en bestemt verdi.

Har sett at for å finne T(x) kan man bruke A multiplisert med x.

Kan da formelen Ax = [w] brukes for å finne alle vektorer x i R^2.

Hvordan gjøres egentlig dette i praksis? R^2 forekommer meg som et stort område.

Hadde det vært en vanlig likning så hadde jeg gjort noe ala:

Ax = w => x = w/A

Er jeg helt på viddene nå, takk på forhånd for hjelp (tar vel køya her straks, så svarer ihvertfall i morgen. Setter stor pris på hjelp!)

[Karl_Erik]

Du har altså en 2x2 standardmatrise A, og du vil finne alle vektorer x slik at [tex]A \vec x= \vec w[/tex]. Setter du [tex] \vec x = [x, y][/tex] og [tex]\vec w =b_1 b_2[/tex] kan du lage deg et likningssett du så kan løse for å finne x, y. (Eller, i det minste, finne alle mulige x, y.) Jeg kan løse et eksempel for deg. La [tex]A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right)[/tex], og [tex]w=\left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right)[/tex]. Vi vil da finne alle vektorer [tex]\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)[/tex] slik at [tex]\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right)[/tex]. Siden [tex]\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left ( \begin{matrix} 3x + y \\ x + 4y \end{matrix} \right )[/tex] betyr dette at vi har et likningssett med to ukjente: [tex]3x + y = 2[/tex] og [tex]x+4y=7[/tex], som du sikkert er vant med å finne løsningene på. Om [tex]x,y[/tex] er en løsning av dette likningssettet, er da [tex]\left ( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right )[/tex] en vektor vi lette etter.

[Matteslusken]

Ja, supert Karl Erik, takk for svaret. Skjønner hva du mener, og fant også ut at man kunne sette det opp slik (tilgi meg at jeg ikke bruker like fin tegnsetting som deg):

[3 -1 | 2]
[-1 4 | 7]

Og så gjøre radoperasjoner på dette til man kommer til enhetsmatrisen, og da har man [tex]\vec x[/tex] = (x,y), og man har da svaret:

T: R2>R2 ved T(x,y)=(3x-y,4y-x)

og dermed T([tex]\vec x[/tex]) = T(x_svar,y_svar) = [tex]\vec w[/tex]

Skrev inn tilfeldige tall her, men tror du skjønner poenget. Siden det er et kurs i linalg, så tror jeg at vi fortrinnsvis skal løse med matrise-regning, selv om begge metoder i utgangspunktet gir samme svar.

Tusen takk for ditt innspill, setter stor pris på det!

-- Matteslusken