Ortogonalitet

[meCarnival]

En liten oppgave jeg ikke helt vet hvor jeg skal starte...



Jeg tenker litt tungvint med tankegangen posisjonvektoren, farten, hastigheten og akselerasjonen og hvordan de er iforhold til hverandre på et punkt langs en bane. Og vet jeg skal bruke skalarproduktet og det skal være lik null, men hvordan jeg skal få sammenslått de to uten å ha noen spesifikke tall, forstår jeg ikke helt... Dårlig på sånn utled, vis osv =P Tenkt litt på Newton 1. og 2. ...

En hjelpen hånd i riktig retning?

[Nebuchadnezzar]

Du må vel dele det opp i to tilfeller, en der partikelen går rett frem, og en der den er i en sirkelbane?

Løste denne for litt siden

I en sirkel

[tex]v = \sqrt{\,a \cdot r} \, [/tex]

[tex]F = \frac{v^2}{r}\cdot m [/tex]

[tex]\alpha \, = \, \arctan{\(\frac{F}{v}\)}[/tex]

Siden v = konstant så må a=0 og dermed er arctan udefinert og vinkelen blir 90

Dette er bare notatene i boken min. Håper det var dette du lurte på. Man kan helt sikkert bruke skalarproduktet og, men ja...

[claudius]

[tex]|\vec{v}+ d\vec{v}| = |\vec{v}| \Rightarrow \vec{v}\cdot \vec{v}+2\vec{v}\cdot d \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{v} \Rightarrow \vec{v}\cdot d\vec{v} \vec{} = 0[/tex]

[tex]d\vec{v} = \vec{a}dt \Rightarrow \vec{v}\cdot \vec{a} = 0[/tex]

[meCarnival]

Du må vel dele det opp i to tilfeller, en der partikelen går rett frem, og en der den er i en sirkelbane?

Løste denne for litt siden

I en sirkel

[tex]v = \sqrt{\,a \cdot r} \, [/tex]

[tex]F = \frac{v^2}{r}\cdot m [/tex]

[tex]\alpha \, = \, \arctan{\(\frac{F}{v}\)}[/tex]

Siden v = konstant så må a=0 og dermed er arctan udefinert og vinkelen blir 90

Dette er bare notatene i boken min. Håper det var dette du lurte på. Man kan helt sikkert bruke skalarproduktet og, men ja...

Ikke hatt noe spesifikt om det, men tror jeg skal bruke skalarproduktet i oppgaven...

[meCarnival]

[tex]|\vec{v}+ d\vec{v}| = |\vec{v}| \Rightarrow \vec{v}\cdot \vec{v}+2\vec{v}\cdot d \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{v} \Rightarrow \vec{v}\cdot d\vec{v} \vec{} = 0[/tex]

[tex]d\vec{v} = \vec{a}dt \Rightarrow \vec{v}\cdot \vec{a} = 0[/tex]

Litt mer forklaring?

[claudius]

Litt mer forklaring?

At farten er konstant betyr at |v| er konstant (mens v kan variere).
Nå er:
[tex]|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}, \; (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})= \vec{a}\cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} +\vec{b} \cdot \vec{b}[/tex]

I tilfellet [tex] \vec{v}+ d\vec{v} [/tex] er [tex] d\vec{v}\cdot d\vec{v}[/tex] en liten størrelse av 2. orden og kan neglisjeres.

[espen180]

Akselerasjonsvektoren til en partikkel kan dekomponeres i to deler, [tex]\rm{proj}_{\vec{v}} \vec{a}[/tex], som er projeksjonen av [tex]\vec{a}[/tex] på [tex]\vec{v}[/tex] og er parallell med [tex]\vec{v}[/tex], og [tex]\vec{a}-\rm{proj}_{\vec{v}} \vec{a}[/tex], som er ortogonal med v (verifiser). Uttrykk [tex]\rm{proj}_{\vec{v}} \vec{a}[/tex] ved [tex]\vec{v}[/tex], og vis at dersom [tex]\rm{proj}_{\vec{v}} \vec{a}\neq \vec{0}[/tex], vil [tex]\frac{d|\vec{v}|}{dt}\neq 0[/tex] ved å utnytte at siden [tex]\vec{a}[/tex] uten tap av generalitet kan antas å være konstant, kan vi skrive [tex]\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t[/tex]

[Karl_Erik]

Alternativt: Vi vet at [tex]|\vec v|^2= \vec v \cdot \vec v[/tex] er konstant. Tidsderiverer vi denne skal vi altså få null, og ved produktregelen for skalarprodukt får vi da [tex]\vec v \cdot \frac d {dt} \vec v + \vec v \cdot \frac d {dt} \vec v = 0[/tex], så siden den tidsderiverte av fart er akselerasjon har vi [tex]2 \vec a \cdot \vec v = 0[/tex] og altså at [tex]\vec a[/tex] og [tex] \vec v[/tex] er ortogonale som ønsket.

[meCarnival]

Var som jeg tenkte at dette var mye vanskeligere enn det jeg trodde... Vi har ikke vært igjennom noe av de grunnene dere kommer frem til det med. Jeg tenkte at jeg skal bruke deriverte og litt sånn, siden det er det eneste vi har vært igjennom.. Står i fasit at det skal være vist i timene, men finner fint lite om hvordan det skal bevises... Sakl in 8.nov med tre timer på mandager og kommende er det kun områdebeskrivelse av trippelintergraler og dermed skal vi vite dette da... Samme som oppgave 1, ikke hatt noen lignende eller Oppgave 4, hva betyr T_x(?,?) for noe f.eks?





Håper noen vet hva de betyr, oppgave 4 synes jeg er gøyalt, men hater jo vektorregning da Oppgave 1 - skal vel bare dobbeltintegrere [tex]\vec{a}[/tex]?

[claudius]

Det må da være flere feil og manglende opplysninger ioppg. 4? Som den står nå er den meningsløs!
Du er absolutt inne på noe når det gjelder oppg. 1.

[meCarnival]

Det må da være flere feil og manglende opplysninger ioppg. 4? Som den står nå er den meningsløs!
Du er absolutt inne på noe når det gjelder oppg. 1.

Ja, aner ikke hvor jeg skal starte hen på denne vektordelen av øvinga...

Oppgave 4
Denne står slik formulert i øvinga og jeg har kommet hit:
[tex]\vec{r}\(t\)=\[\sqrt{1+t}, \, 2 + \frac{t}{3} \] [/tex]




Oppgave 1
Her er det delvis feil forhold til fasiten, altså jeg skjønner ikke hvordan jeg skal ta med eller benytte startposisjon osv i akselerasjonen for så integrere dobbelt for å få fasiten...

Fasit:


Det er det jeg har fått til og vi har ikke nevnt nullvektor som hastighetsvektoren ved t=0 er lik osv... Det [tex]T_y(2,3) = 3[/tex], skjer med det? Tenkte det var temperaturen i 2,3 er 3, men hva står den y'n for evt da? Fordi det er jo en for x også... Det er jo et spesifikt punkt som er 2,3 liksom?

Bra at det er litt håpløst formulert osv, så jeg ikke er helt på jordet

[Janhaa]

blir vel noe sånt på oppg 4:

[tex]\frac{\part T_x}{\part t}=T_x\cdot \frac{dx}{dt}=4\cdot (1/4)=1[/tex]

[tex]\frac{\part T_y}{\part t}=T_y\cdot \frac{dy}{dt}=3\cdot (1/3)=1[/tex]
====================

[tex]\frac{\part T}{\part t}=\frac{dT_x}{dt}+\frac{dT_y}{dt}=2\,^o C/s[/tex]

er ikke helt sikker på notasjonene..

[Janhaa]

hmmm...er det oppgave 3 du har fasit 2 gr C/s på, eller 4?

[meCarnival]

3) Er tempen
4) Brøken
osv ...

[Janhaa]

blir vel noe sånt på oppg 4:
[tex]\frac{\part T_x}{\part t}=T_x\cdot \frac{dx}{dt}=4\cdot (1/4)=1[/tex]
[tex]\frac{\part T_y}{\part t}=T_y\cdot \frac{dy}{dt}=3\cdot (1/3)=1[/tex]
====================
[tex]\frac{\part T}{\part t}=\frac{dT_x}{dt}+\frac{dT_y}{dt}=2\,^o C/s[/tex]
er ikke helt sikker på notasjonene..

OK; stemmer dette da?