Naturlig tall

[Integralen]

Oppgave 17.

La n være et naturlig tall og anta at f og g er n ganger deriverbare.Vis at:

[tex]D^{n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} D^{(n-k)}f(x)D^{(k)}g(x)[/tex]

der [tex]\: D^{(n)}h \:[/tex] betegner den n-te deriverte til funksjonen h.

[tex]h(x)=e^xsinx[/tex]

Kan noen vise det nøyaktig hvordan hele visningen blir?

[Gustav]

Du kan bruke induksjon for å vise dette.

Formelen gjelder via produktregelen for n=1.

Anta at formelen stemmer for n.

Da følger at

[tex]D^{n+1}(fg)=D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)[/tex]

Siden derivasjonsoperatoren D er lineær er dette:

[tex]D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))[/tex]

Vi bruker igjen produktregelen og får

[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left ((D^{n-k+1}f)(D^k g)+(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)\right )[/tex]

Bruker vi at

[tex]\frac{n+1}{k+1}{n\choose k}={n+1\choose k+1}[/tex]

blir

[tex]{n\choose k}={n+1\choose k+1}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}\frac{n+1-k}{n+1}={n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}[/tex]

Ser vi på det siste leddet i summen et par hakk over kan vi omskrive:

La k+1=m. Da går summen over m fra m=1 til n+1

[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)=\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m-1}\frac{n+1-m+1}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]

Vi har at

[tex]{n+1\choose m-1}=\frac{m}{n-m+2}{n+1\choose m}[/tex] så vi skriver summen over som

[tex]\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]

,hvor vi i den siste likheten bare har addert et ledd som er lik 0.

Til slutt har vi at

[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]

,hvor vi igjen kun har addert et ledd som er 0.

Tilslutt adderer vi og får

[tex]D^{n+1}(fg)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\\ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^{k} g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(\frac{n+1-k}{n+1}+\frac{k}{n+1})(D^{n-k+1}f)(D^k g)\\=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]

Nå har jeg på følelsen at denne utregninga kunne vært gjort enklere...

[Integralen]

Videre går spørsmålet ut på å finne den fjerdederiverte til funksjonen h ved bruk av formelen, hvordan blir innsettingen nå?

[FredrikM]

Bytt ut alle [tex]n[/tex] med 4.

[Integralen]

Bytt ut alle [tex]n[/tex] med 4.

Det jeg egentlig mente som oppgaven sier altså å finne den fjerdederiverte ved å bruke følgende formel:

[tex]D^{n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} D^{(n-k)}f(x)D^{(k)}g(x)[/tex]

Hvis jeg nå setter inn 4 istedenfor n så får jeg:

[tex]D^{4}[e^{x}sin{x}]=\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} D^{(4-k)}e^{x}D^{(k)}sin{x}[/tex]

og dermed skal man ha funnet den fjerdederiverte?

[FredrikM]

Om du skriver ut summen der, er det enda bedre.

(f.eks er [tex]De^x= e^x[/tex] osv)

[Nebuchadnezzar]

forstår selv ikke helt hva de mener med [tex]D[/tex] og [tex]D^{4-k}[/tex]
Noen som kan forklare dette med teskje ?

[Karl_Erik]

D er nok notasjon for deriveringsoperatoren. [tex]D^{(4-k)}[/tex] betyr da operatoren som deriverer 4-k ganger.

[Charlatan]

Utledningen av formelen kan forsåvidt gjøres ganske mye enklere ved å bruke at [tex]D^{n+1}(fg)=D^{n}(f^{\prime}g)+D^{n}(fg^{\prime})[/tex] samt [tex]{n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}[/tex].

[claudius]

Den fjerde deriverte blir:
[tex] f(x) = e^x,\; g(x) = sin x \\ e^x sin x + 4 e^x cos x - 6 e^x sin x - 4 e^x cos x + e^x sin x = -4 e^x sin x[/tex]

[Integralen]

Ja, det stemmer.