Rekursjonsformelen

[Integralen]

Oppgave 11.


a) Vis at det skraverte arealet er gitt ved
[tex]A(u)=2u-sin(2u) \: , \: 0<u< \frac{\pi}{2}[/tex]

b)Bruk newtonmetode til å finne u med 3 desimaler når den ene sirkelen dekker nøyaktig halvparten av den andre. Hvor stor er avstanden mellom sentrene.

[Nebuchadnezzar]

Hva sliter du med a eller b?

Og tegningen din er feil, kan du se at området i midten ikke er lik halvparten til området til den ene sirkelen?

Svaret er forrøvrig ca

[tex]u \, \approx \, 1.154940730005029...[/tex]

[Integralen]

Altså:
1.På a) skal du vise at det skraverte område har areal som nevnt.
2.På b) skal du vise utregningen til hvordan du kom fram til u.

[drgz]

Altså:
1.På a) skal du vise at det skraverte område har areal som nevnt.
2.På b) skal du vise utregningen til hvordan du kom fram til u.

Har du gjort noen forsøk selv? Newtons metode er ganske godt dokumentert på f.eks Wikipedia...

[Integralen]

[tex]u_n=u_{n-1}-\frac{A(u_{n-1})}{A^\prime(u_{n-1})}[/tex]

Hva er:
[tex]A(u_0)[/tex]
og
[tex]u_0[/tex]
lik når den ene sirkelen dekker nøyaktig halvparten av den andre????

[Nebuchadnezzar]

På b) kan jo du bruke at arealet av området er lik halvparten av arealet til sirkelen altså at

[tex]A(u)=\frac{\pi}{2} \; [/tex] eller [tex] \; 2u-sin(2u)=\frac{\pi}{2}[/tex]

Så kan man flytte over, og bruke formelen

[tex]N(u)=u-\frac{A(u)}{A^{\tiny\prime}(u)}[/tex]

[Integralen]

Jeg skjønner ikke hvordan du har fått likningen [tex]\: 2u-sin(2u)=\frac{\pi}{2}[/tex]

Arealet av en sirkel er [tex]\: \pi r^2 \:[/tex]

Halvparten av det er :
[tex]\frac{ \pi r^2}{2}[/tex]

Har du satt r=1 ???

Og hvordan kom du til at arealet av det lille skraverte område tegnet over er lik halvparten av sirkelen[tex]\: \frac{\pi}{ 2}[/tex] ??????

[Janhaa]

Oppgave 11.

a) Vis at det skraverte arealet er gitt ved
[tex][tex][/tex]A(u)=2u-sin(2u) \: , \: 0<u< \frac{\pi}{2}[/tex.

har du fått til denne ennå?

[drgz]

[tex]u_n=u_{n-1}-\frac{A(u_{n-1})}{A^\prime(u_{n-1})}[/tex]

Hva er:
[tex]A(u_0)[/tex]
og
[tex]u_0[/tex]
lik når den ene sirkelen dekker nøyaktig halvparten av den andre????

[tex]u_0[/tex] velger du selv...
[tex]A(u_0)[/tex] finner du ved å sette inn [tex]u=u_0[/tex] i uttrykket for [tex]A(u)[/tex]....

Du er jo nesten i mål med den andre oppgaven, det eneste som mangler er at du prøver selv.

[Integralen]

Oppgave 11.

a) Vis at det skraverte arealet er gitt ved
[tex][tex][/tex]A(u)=2u-sin(2u) \: , \: 0<u< \frac{\pi}{2}[/tex.

har du fått til denne ennå?

Nei, kunne du vise?(den trigonometriske forklaringen, takk)

[Nebuchadnezzar]

1. Regn ut størrelsen på det grå arealet når vinkelen er u. Kan gjerne ha med r og. altså regn ut størrelsen på sirkelsektoren



2. Regn ut arealet av det røde området.
Altså en trekant, der du vet to av sidene og vinkelen. Kan du komme på en formel som gir arealet når vi har to sider og vinkelen, mellom dem ?



3. Trekk det røde ifra det grå

4. Gang svaret ditt med to

5. ???

6. Profitt

[Integralen]

Genialt hittil!

Men hvordan regner man ut avstanden mellom sentrene?( når den ene sirkelen nå altså dekker halvparten av den andre)

[Nebuchadnezzar]

Tenk deg noe slikt som at arealet av en sirkel er [tex]\pi r^2[/tex]
Halvparten av arealet av en sirkel er dermed [tex]\frac{\pi r^2}{2}[/tex]

Så må du finne ut når arealet av det skarverte området er lik halvparten av den ene sirkelen

altså når [tex]A=\frac{\pi r^2}{2}[/tex]

[Integralen]

Du vet vel at det er avstanden mellom sentrene jeg spør etter?
Isåfall hvordan blir likningen og med hensyn på hva skal man løse den for?

[Nebuchadnezzar]

Gjør aller først som jeg sa, målet med det er å finne vinkelen. Altså u.



Tegningen her viser en riktig u, her dekker det lilla området halvparten av den røde sirkelen. Når vi har u, kan man se en liten rettvinklet trekant på tegningen. Hypotenusen er radiusen, og det grønne er avstanden til midtpunktet mellom sentrene. Eller sagt med andre ord den hosliggende.

Bruk trigonometri til å finne lengden av den grønne linja, når du vet u. Så ganger du bare svaret ditt med to, grunnet symmetri.