Oppgave 8
Anta at g er den omvendte funksjonen til en kontinuerlig, strengt monoton funksjon f og at f er to ganger deriverbar i punktet y=g(x). Vis at g er to ganger deriverbar i x og at[tex]\: g^\prime^\prime(x)=- \frac{f^\prime^\prime[g(x)]g^\prime(x)}{f^\prime[g(x)]^2} \:[/tex]forutsatt at [tex]\: f^\prime[g(x)] \:[/tex] ulik 0.
La f(x)=sin(x) og beregn [tex]\: g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex]
Hvordan skal man beregne denne?
Regn ut
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
første del;
gitt:
[tex]f(g(x))=x[/tex]
deriverer begge sider vha kjerneregel:
[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]
[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]
deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:
[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]
der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]
gitt:
[tex]f(g(x))=x[/tex]
deriverer begge sider vha kjerneregel:
[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]
[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]
deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:
[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]
der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Dette er helt riktig!Janhaa skrev:første del;
gitt:
[tex]f(g(x))=x[/tex]
deriverer begge sider vha kjerneregel:
[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]
[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]
deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:
[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]
der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]
Videre prøver jeg å beregne [tex]\:g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex].
Dette prøvde jeg ut slik:
Jeg antok at [tex]\: f^\prime^\prime[g(x)]=-sin(g(x)) \:[/tex]
Dette tenkte jeg fordi:[tex]\: f(x)=sin(x)[/tex].
Videre antok jeg at [tex]f^\prime[g(x)]^2=cos(g(x))^2[/tex]
Og antok videre at [tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}=\frac{1}{cos(x)[/tex]
Hvis jeg setter i formelen over nå så stopper det opp fordi x og g(x) ikke er gitt noe verdi for.
Hvordan beregner man [tex]g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex]
(Kan du vise til svaret?)
Jo, det gjør vel det. Som vanlig hiver jeg meg på oppgaver,Charlatan skrev:@Janhaa: Antar ikke dette at g er èn gang deriverbar i utgangspunktet? Beviset ditt stemmer i hvert fall om man kan vise dette.
uten særlig "forarbeid".
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
nå må du huske at f = y = sin(x), og da er den omvendte funksjonen likIntegralen skrev:Dette er helt riktig!Janhaa skrev:første del;
gitt:
[tex]f(g(x))=x[/tex]
deriverer begge sider vha kjerneregel:
[tex]f^,[g(x)]g^,(x)=1[/tex]
[tex]g^,(x)=\frac{1}{f^,[g(x)]}[/tex]
deriverer begge sider igjen vha kvotientregel og kjerneregel:
[tex]g^"(x)=\frac{0-f"[g(x)]g^,(x)}{f^,[g(x)]^2}[/tex]der
[tex]f^,[g(x)]\neq0[/tex]
Videre prøver jeg å beregne [tex]\:g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex].
Dette prøvde jeg ut slik:
Jeg antok at [tex]\: f^\prime^\prime[g(x)]=-sin(g(x)) \:[/tex]
Dette tenkte jeg fordi:[tex]\: f(x)=sin(x)[/tex].
Videre antok jeg at [tex]f^\prime[g(x)]^2=cos(g(x))^2[/tex]
Og antok videre at [tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}=\frac{1}{cos(x)[/tex]
Hvis jeg setter i formelen over nå så stopper det opp fordi x og g(x) ikke er gitt noe verdi for.
Hvordan beregner man [tex]g^\prime^\prime(\frac{1}{2})[/tex]
(Kan du vise til svaret?)
g = x = arcsin(y).
Men den deriverte til g, g' [symbol:ikke_lik] 1/cos(x)
=============
prøv deg fram finn den deriverete til arcsin(y) etc...fin trening
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Da får jeg:
[tex]g^\prime^\prime(x)=\frac{- -sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(sin(x))^2}}}{[cos(x)]^2}[/tex]
Hivs jeg setter x=0,5 får jeg til svar 0,71....
Har man satt det riktig over?Hvis ikke, hvordan blir det riktig?
[tex]g^\prime^\prime(x)=\frac{- -sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(sin(x))^2}}}{[cos(x)]^2}[/tex]
Hivs jeg setter x=0,5 får jeg til svar 0,71....
Har man satt det riktig over?Hvis ikke, hvordan blir det riktig?
[tex]g^"(x)=\frac{-sin(\arcsin(x))\cdot{1\over{\sqrt{1-x^2}}}}{cos(\arcsin(x))^2}=\frac{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=\frac{-x}{(1-x^2)^{3/2}}[/tex]Integralen skrev:Da får jeg:
[tex]g^\prime^\prime(x)=\frac{- -sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(sin(x))^2}}}{[cos(x)]^2}[/tex]
Hivs jeg setter x=0,5 får jeg til svar 0,71....
Har man satt det riktig over?Hvis ikke, hvordan blir det riktig?
trur eg...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Det høres veldig logisk ut, du har nok rett, bare at det ikke skal være minus i teller siden den blir fjernet under innsettingen.