Lineær algebra

[diracfan1]

Hei

Sliter litt med en oppgave

Den lineære transformasjonen T(x)=Ax

Har et system som tar inn en n-dimensjonal vektor og produserer en m-dimensjonal vector y=Ax.

Skal først anta at m=n og at A er invertibel. Og så skal man vise at enhver ikke-negativ y-vektor kan bli produsert (I tillegg står det at for enhver y-vektor som er ikke-negativ og er m-dimensjonal så finnes det en unik x som er n-dimensjonal slik at y=T(x)). Finn en formel for denne x!

Går oppgaven rett og slett ut på å finne en vector x som gir y=Ax større eller lik 0 for hvilken som helst matrise A? Synes det virker litt overveldende...

Er det noen som kan hjelpe til med å dytte meg litt i riktig retning her så blir jeg glad. Står man skal bruke grunnlegende lineær algebra, og jeg blir veldig usikker på hvordan man skal angripe det her.

Hilsen meg

[espen180]

Tja, du vet du at A er invertibel. Kan du da definere en inverstransformasjon T[sup]-1[/sup](y)=x?

Hvorfor er det forresten fokus på ikke-negativitet for y?

[diracfan1]

Ja, man kan vel det. Slik at x=(inv(A))*y

lurer bare på hvordan man kan vise at alt man putter inn blir til noe positivt?

grunnen til denne ikke-negativiteten er at oppgaven senere handler om matematisk finans

[espen180]

Det oppgaven ber om er at du skal vise at enhver positiv y-vektor kan bli produsert, ikke at alle x-vektorer gir positive y-vektorer. Da ville ikke T være en lineær transformasjon. Det du skal gjøre er altså å vise at en lineær transformasjon fra [tex]\mathbb{R}^n[/tex] til [tex]\mathbb{R}^n[/tex] gitt ved en invertibel matrise er injektiv.

[diracfan1]

Ah. Mener du at man må vise at Ax=0 kun har løsningen x=0?

[espen180]

Det er tilstrekkelig for å vise at A er invertibel, men vi antar at dette er sant, så det er unødvendig. Du må vise at ligningen Ax=y har en løsning for alle (positive) y.

[diracfan1]

Man har et teorem som sier at hvis en matrise A er invertibel så
vil Ax=y ha en minst en løsning for enhver y i R^n. Kan jeg bruke dette?

[espen180]

Ja, det er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for å besvare oppgaven. Du må vise at det kun fins én løsning for hver y, og du skal finne et uttrykk for den løsningen.

[diracfan1]

A er invertibel og siden det er n ledende elementer så er det ingen frie variable og dermed bør det kun eksistere én løsning av Ax=y?

[espen180]

Det er ikke et uttrykk for løsningen av ligningen.

[Gustav]

Det oppgaven spør om er om det for alle ikkenegative vektorer y fins en x slik at Ax=y. Dersom A er invertibel er dette opplagt: La y være en ikkenegativ vektor. Da vil inv(A)y være en slik vektor siden Ainv(A)y=Iy=y.