Innskrevet trekant

[olel]

Har en oppgave der jeg skal vise at den trekanten med størst areal som kan innskrives i en sirkel er regulær. Vet ikke om dette er mulig ved hjelp av derivasjon, men det skal uansett ikke brukes. Heller ikke trigonometri skal brukes, og ut fra resten av pensum skal det trolig bevises v.h.a euklidsk geometri. Noen som vet?

[Karl_Erik]

Arealet av en trekant er grunnlinje ganger høyde. Altså øker arealet om du lar en av disse være uendret og øker den andre. Velg derfor en trekant innskrevet i en bestemt sirkel som ikke er regulær. Vis så at du kan flytte et punkt til midpunktet på sirkelbuen definert av de to andre punktene slik at høyden i trekanten øker, og grunnlinjen forblir uendret, og arealet derfor øker.

[olel]

Det du har skrevet mener jeg viser at for en gitt grunnlinje, har en likebeint trekant størst areal innskrevet i en sirkel. Men hvorfor er den med aller størst areal likesidet?

[Karl_Erik]

Det er sant. Du kan også formulere dette som at gitt en trekant innskrevet i en sirkel kan du øke arealet på den ved å holde en grunnlinje i ro og flytte det tredje hjørnet slik at de to andre sidene blir like lange. Sant? Dette betyr altså at om du har en trekant som ikke er likesidet finnes det to sider som er ulike, så om du velger den tredje siden som grunnlinje kan du flytte det tredje hjørnet langs sirkelen slik at de to andre sidene blir like og arealet øker.

Derfor kan denne hypotetiske trekanten, som vi bare antok ikke var likesidet, ikke ha aller størst areal. Altså er den eneste trekanten som kan ha størst areal den likesidede.