Trippel integral

[Marteens]

Hei. Jeg sitter litt fast i en oppgave med trippel integrasjon. Hvordan finner jeg ytterverdiene til x og y i denne oppgaven?

[tex]\int \int \int_{\Omega} 1, [/tex]

[tex]\Omega = \left{ (x,y,z) \in R^3 : x^2 + y^2 \leq z \leq 3-2y \right} [/tex]

[Vektormannen]

Hva tenker du på som ytterverdiene? Grensene i det itererte integralet? Da må du først fortelle hvordan du har tenkt å iterere det (det kan jo gjøres i flere rekkefølger.)

[Marteens]

Jeg prøvde slik:

[tex]\int \int \left( \int_{x^2 +y^2}^{3-2y} dz \right) dxdy [/tex]

Men på den måten sleit jeg med å finne intervallet hvor jeg skulle integrere x og y. Ser du en enklere rekkefølge? Eller ser du eventuelt hvordan jeg går videre fra der jeg stratet?

Jeg studerer ikke i Norge, så terminologien min på norsk er ikke helt maksimal, men det jeg altså mente med ytterverdier var funksjonene eller tallene man setter nederst og øverst i et integral. Hva heter det på norsk?

[Vektormannen]

Det kalles vel bare integrasjonsgrenser på norsk. Men uansett, her bør du tegne en figur hvis du ikke har det. Det du har sagt nå er hvilke grenser z skal løpe fra og til når x og y er gitt. Da gjenstår det å summere alle slike integral av x, for alle små flateelementer for hver x og y-verdi som er med i området. Dette kan du gjøre på flere måter. Du må bestemme deg for hvilken av x og y som skal være "fri" -- dvs. som ikke skal ha grenser som avhenger av andre variable. La oss si at vi velger y.

Da må vi finne ut hvilke grenser y skal ha. Det er klart at y vil ha sine maksimale yttergrenser når x = 0 (dette ser du ut i fra hvordan en paraboloide ser ut.) Da kan vi finne krysningspunktene mellom linja z = 3 - 2y og parabelen [tex]z = y^2[/tex] for å finne ytterpunktene: [tex]y^2 = 3 - 2y[/tex] gir [tex]y = 1[/tex] og [tex]y = -3[/tex]. Så hvis y går fra -3 til 1 så dekker vi alle y-verdier. Så gjenstår det å finne hvilke grenser x skal ha for en gitt y-verdi. Dette finner vi fra paraboloideligningen: [tex]x^2 + y^2 \leq z \ \Leftrightarrow \ -\sqrt{z-y^2} \leq x \leq \sqrt{z - y^2}[/tex].

Dermed får du altså det itererte integralet: [tex]\int_{-3}^1 \ \int_{-\sqrt{3-2y-y^2}}^{\sqrt{3-2y-y^2}} \ \int_{x^2+y^2}^{3-2y} dz dx dy[/tex]

Å løse dette integralet kan vise seg nokså vrient (men det er mulig!) En annen, muligens litt enklere måte er å iterere med x og z i motsatt rekkefølge. Det vil si at vi summerer opp alle "lengdeintegraler" langs x-aksen over flaten som befinner seg i yz-planet. Hvis vi tenker oss igjen at y er gitt, så må z gå over intervallet [tex]y^2 \leq z \leq 3 - 2y[/tex] (nå befinner vi oss i yz-planet). For et hvert punkt (y,z) på denne flaten så skal x da gå over intervallet [tex]-\sqrt{z-y^2} \leq x \leq \sqrt{z-y^2}[/tex].

Vi får da det itererte integralet: [tex]\int_{-3}^1 \ \int_{y^2}^{3-2y} \ \int_{-\sqrt{z - y^2}}^{\sqrt{z - y^2}} dx dz dy[/tex]

Dette er relativt greit å løse, men det vil involvere trigonometrisk substitusjon, samt å fullføre et kvadrat.

En siste metode som nok kanskje er den enkleste (men vanskeligere å komme på kanskje -- dette fant jeg i boken min som et eksempel) er å igjen se på integralet som i iterasjonen øverst her. Altså at vi summerer opp alle lengdeintegral i z-retning, over området avstengt av yttergrensene til x og y. Men vi kan legge merke til en ting, projeksjonen av skjæringskurven mellom [tex]z=x^2 + y^2[/tex] og [tex]z = 3 - 2y[/tex] er en sirkel: [tex]x^2 + y^2 = 3 - 2y \ \Leftrightarrow \ x^2 + (y+1)^2 = 4[/tex]. Så det er altså en sirkel med senter i (0,-1) og radius 2. Det betyr at vi kan iterere over dette området med polarkoordinater i stedet for slik vi gjorde det øverst. Vi skriver da om til polarkoordinater, med sentrum for radien i (0,-1). Da er [tex]x = r \cos \theta[/tex] og [tex]y = r \sin \theta - 1[/tex].

Da får vi: [tex]\int_0^2 \ \int_0^{2\pi} \ \int_{x^2 + y^2}^{3 - 2y} r dz d\theta dr[/tex]

som vil bli betraktelig enklere å regne ut.

EDIT: diverse skrivefeil :<

[Marteens]

Tusen takk for et veldig godt svar. Det var til stor hjelp.

[Marteens]

[tex]x^2 + y^2 = 3 - 2y \ \Leftrightarrow \ x^2 + (y+1)^2 = 4[/tex]

Hvordan gjorde du dette?

[Vektormannen]

Det jeg gjorde kalles å lage et fullstendig kvadrat. Et fullstendig kvadrat er et uttrykk som kan skrives som en kvadrert faktor (altså som noe i andre potens.) Det ønsker vi her fordi en generell sirkel med senter i (a,b) og radius r kan representeres av en ligning på formen [tex](x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2[/tex]. Det betyr at man ved å lage slike fullstendige kvadrater, kan bestemme radius og senter.

Trikset med å lage et fullstendig kvadrat ligger i kvadratsetningene. Som du sikkert er kjent med så er [tex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex]. Det vi ønsker her er å benytte denne baklengs. For å gjøre det ordner vi litt på ligningen:

[tex]x^2 + y^2 + 2y = 3[/tex]

[tex]x^2[/tex] er allerede et fullstendig kvadrat (det er ingen andre ledd med x). Og så observerer vi at [tex]y^2 + 2y[/tex] nesten er et fullstendig kvadrat. Hvis det hadde stått [tex]y^2 + 2y + 1[/tex] så kunne vi ved hjelp av formelen ovenfor skrevet dette som [tex](y+1)^2[/tex]. Men vi kan skaffe oss et slikt uttrykk ved å legge til 1 på begge sider av ligningen:

[tex]x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3+1 = 4[/tex]

Da tar vi kvadratsetningen baklengs og får [tex]x^2 + (y+1)^2 = 4[/tex] og vi gjenkjenner dette som ligningen for en sirkel med senter i (0,-1) og radius 2.

[Marteens]

Ok. Make sense. Takk igjen! =)