Regn ut arealet av overlaten
[tex] Y=X^2 - z^2 [/tex]
[tex]x^2 + z^2 \leq 1 [/tex]
Hvordan går jeg frem her?
Arealet av en overflate
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei.
Jeg prøvde å følge et liknende eksampel fra en lærebok, men det ble nok ikke helt riktig. Jeg gjorde som følger:
[tex] \sigma (u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) = (u, u^2 - v^2, v)[/tex]
[tex] -1\leq u \leq 1, \\ -\sqrt{1-u^2} \leq v \leq \sqrt{1-u^2}[/tex]
[tex] \frac {d\sigma}{du} \wedge \frac {d\sigma}{dv} [/tex]= det [tex]\begin{pmatrix} i & j & k \\ 1 & 2u & 0 \\ 0 & -2v & 1 \end{pmatrix} = 2ui - j - 2vk[/tex]
[tex] ||(2u, -1, -2v)|| = \sqrt {4u^2 + 4v^2 + 1}[/tex]
[tex]\Sigma =\int_{-1}^1 \left (\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}} \sqrt {4u^2 + 4v^2 + 1} dv \right) du[/tex]
Og der stoppet det litt opp. Er det jeg har gjort riktig? Finnes det en lurere måte å parameterisere (x,y,z) på?
Jeg prøvde å følge et liknende eksampel fra en lærebok, men det ble nok ikke helt riktig. Jeg gjorde som følger:
[tex] \sigma (u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) = (u, u^2 - v^2, v)[/tex]
[tex] -1\leq u \leq 1, \\ -\sqrt{1-u^2} \leq v \leq \sqrt{1-u^2}[/tex]
[tex] \frac {d\sigma}{du} \wedge \frac {d\sigma}{dv} [/tex]= det [tex]\begin{pmatrix} i & j & k \\ 1 & 2u & 0 \\ 0 & -2v & 1 \end{pmatrix} = 2ui - j - 2vk[/tex]
[tex] ||(2u, -1, -2v)|| = \sqrt {4u^2 + 4v^2 + 1}[/tex]
[tex]\Sigma =\int_{-1}^1 \left (\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}} \sqrt {4u^2 + 4v^2 + 1} dv \right) du[/tex]
Og der stoppet det litt opp. Er det jeg har gjort riktig? Finnes det en lurere måte å parameterisere (x,y,z) på?