Volum og formel til kule/vanntank

[Integralen]

Oppgave 8.6.19 (NTH)

En vanntank har form som en halvkule med radius 5 m.



a) Finn en formel for volumet av vannet i tanken når vannet står x meter over bunnen.

b)Hvor høyt står vannet over bunnen når tanken er halvfull? Bruk newtons metode, og gi svaret med 2 desimaler.

Hvordan skal jeg begynne å løse for a og b, skjønner ikke hvordan jeg skal gå fram, kan noen vise til formelen?????

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

Snu, hodet ditt 90 grader, og tenk integrasjon.

[Integralen]

Hva ?????

Kan du regne ut???

[Nebuchadnezzar]

Snur du hodet ditt 90 grader, så kanskje du ser at tanken ser ut som.

[tex]f(x)=\sqrt{5^2-x^2}[/tex]

Nå er jo tanken symmetrisk, så vi trenger ikke å tegne bunnen av tanken.

Nå kan du jo bare bruke formelen for et omdreiningslegemet, og slenge på noen smarte grenser, også ganget svaret ditt med to. Siden vi kun fokuserer på øvre halvsirkel.



Prøv og sett opp et integral, så tar vi det derfra.

Selv mener jeg at svaret blir

[tex]A(x)=\frac{1}{3}\pi \cdot x^2 (15 - x) [/tex]

[Integralen]

Etter dreining rundt y-aksen får jeg:
[tex]2\pi \int x {\sqrt{(25-x^2)}} dx= \pi [\frac{2}{3}(25-x^2)][/tex]

[Nebuchadnezzar]

1. Husk å slenge på grenser
2. Du kan fjerne to tallet foran
3. Husk at dette er et omdreiningslegemet

[tex]\pi \int_{b}^{a} f(x)^2 dx [/tex]

Ellers ser det greit ut, svaret på b) er

[tex]-5 \cos(\frac{1}{9} \pi )+5+5 \sin(\frac{1}{9} \pi ) sqrt(3)[/tex]

Eller med to tilnærminger, der vi tipper 3.

53874263/16508016

[Integralen]

Jeg skjønner ikke på a) og b), hvilke grenser har du brukt der???

Altså:

[tex]\pi \int_a^b 25-x^2 dx=\pi[25x-\frac{1}{3}x^3]^b_a[/tex]

Hva satte du a og b for å få den formelen du fikk????

Og på b) hva brukte du som [tex]\: x_{0} \:[/tex]. Og hvordan fant du denne [tex]\: x_{0} \:[/tex]

?????

[Nebuchadnezzar]

Tenk litt og se på tegningen.

Vi skal måle det merkede området på figuren. DEt som er farget litt sånn brunt.

I oppgaven din står det at x er lengden fra bunnen og opp til toppen av vannet. *Peke på figur* Dette er jo det samme som fra der den blå linja skjærer x-aksen og opp til der vannet er.

Grensene kan vi skrive som

[tex]\pi \left( \int_{0}^{5} f(x)^2 dx - \int_{0}^{5-a} f(x)^2 dx \right) [/tex]

Eller

[tex]\pi \int_{5-a}^{5} f(x)^2 dx[/tex]

Hvorfor vi kan skrive det slik må du nesten tenke deg til, ved å se på figuren og arbeide litt =)

Og det viktigste er jo ikke hvordan du løser akkuratt denne oppgaven, men slike oppgaver generelt.

=)

[Integralen]

Ja, jeg skjønte a) nå fullt ut.

Men kan du forklare hvordan du brukten newton metoden på oppgave b) ???

Altså hva satte du for [tex]\: x_{0} \:[/tex]

Jeg antar at du brukte:

[tex]x_{n+1}=x_{n}- \frac{fx_{n}}{f^\prime x_{n}}[/tex]

Satte du [tex]f(x_{n})=\sqrt{25-x^2}[/tex]

og

[tex]x_{0}=5[/tex]

???????

Hvis ikke hva satte du dem lik da????

[Nebuchadnezzar]

Vi har [tex]A(x)=\frac{1}{3}\pi x^2 (15-x)[/tex]

Halvfull beholder er [tex]A(5)/2[/tex] eller [tex]\frac{\frac{3}{2}\pi r^3}{2}[/tex]

så

[tex]A(x)=A(5)/2[/tex]

[tex]f(b)=b - \frac{A(b)-A(5)/2}{\left( A(b)-A(5)/2 \right)^{\prime} } [/tex]

[Integralen]

I uttrykkene over skriver du blant annet b og r.
Hva er b lik og hva er r lik ???

[Nebuchadnezzar]

r = radiusen. Er jo bare formelen for ei kule.

b=a_n

Altså den verdien vi tipper. Ellers burde du kjenne igjen f(b) som newton/rhapsons tilnærmingsmåte =)

[Integralen]

Ja, det skjønner jeg , det jeg mente var om hvilken verdi r og b du brukte??????

Altså du brukte nok r=5 men hva tippa du deg til og hvordan for b verdien??

[Nebuchadnezzar]

[tex]r=5[/tex] ja.

Om du ser på tegninga ser jo du enkelt at [tex]x=1[/tex] er for lite det samme er [tex]x=2. x=4[/tex] virker litt mye. Og [tex]x=5[/tex] er uaktuelt.

Derfor virker det logisk at [tex]2<b<4 [/tex]
Der etter mitt øyemål er [tex]b[/tex] litt nærmere [tex]4[/tex]. Så da er det bare å tippe i vei.

[Integralen]

Jeg skjønner ikke hva du mener at x=1,2,3 er for lite og x=4 for stor.

Kan du forklare hvordan du ser det fra tegningen at dem er for lite og for stor??

Er det fra der du har skravert område litt før 4 og til 5 som har noe med det å gjør???