Spørsmålet er som følger:
Show by induction that:
2+4+5+...+(2n)=n(n+1)
Noen som kan hjelpe meg?
Induksjon?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
først for n=1l0litah skrev:Spørsmålet er som følger:
Show by induction that:
2+4+5+...+(2n)=n(n+1)
Noen som kan hjelpe meg?
deretter
U(k) => U(k+1)
U(k): 2+4+5+...+2k=k(k+1)
så
U(k+1): 2+4+5+...+2k+2(k+1)=(k+1)(k+2)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
tja...start...l0litah skrev:Hmm.. Er dette et svar eller en forklaring? Mulig jeg spør dumt nå..
du går på høyskole...eller...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Induksjon kan jo forklares kort slik. Som er i praksis det Janhaa har gjort.
1. Vi testet om det stemmer for det første tallet [tex]n_0[/tex] (Nesten alltid 1)
2. Vi antar det stemmer for et tilfeldig tall [tex]k[/tex]. Altså at [tex]n=k[/tex]
3. Vi sjekker om det stemmer for [tex]k+1[/tex], ved å bruke antagelsen i [tex]2[/tex].
[tex]2+4+6+...+(2n)=n(n+1) [/tex]
Vi tester om det stemmer for [tex]n=1[/tex]
[tex]VS = 2*\cdot1 = 2[/tex]
[tex]HS = 1\cdot(1+1) = 2[/tex]
VS=Venstre side og HS=høyre side
Vi antar at det stemmer for [tex]n=k[/tex]
[tex]2+4+6+...+(2k)=k(k+1) [/tex]
Vi sjekker om det stemmer for [tex]k+1[/tex], altså
VS = (2+4+6+...+(2k))+(2(k+1))
Vi bruker at det stemmer for [tex]n=k[/tex]
[tex]VS = (k(k+1) )+(2(k+1))[/tex]
[tex]VS = (k+1)(k+2)[/tex]
Så ser vi på høyre side
[tex]HS = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) [/tex]
1. Vi testet om det stemmer for det første tallet [tex]n_0[/tex] (Nesten alltid 1)
2. Vi antar det stemmer for et tilfeldig tall [tex]k[/tex]. Altså at [tex]n=k[/tex]
3. Vi sjekker om det stemmer for [tex]k+1[/tex], ved å bruke antagelsen i [tex]2[/tex].
[tex]2+4+6+...+(2n)=n(n+1) [/tex]
Vi tester om det stemmer for [tex]n=1[/tex]
[tex]VS = 2*\cdot1 = 2[/tex]
[tex]HS = 1\cdot(1+1) = 2[/tex]
VS=Venstre side og HS=høyre side
Vi antar at det stemmer for [tex]n=k[/tex]
[tex]2+4+6+...+(2k)=k(k+1) [/tex]
Vi sjekker om det stemmer for [tex]k+1[/tex], altså
VS = (2+4+6+...+(2k))+(2(k+1))
Vi bruker at det stemmer for [tex]n=k[/tex]
[tex]VS = (k(k+1) )+(2(k+1))[/tex]
[tex]VS = (k+1)(k+2)[/tex]
Så ser vi på høyre side
[tex]HS = (k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2) [/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Peke på svaret mitt. Du kan dessverre ikke bruke = fordi du ikke vet om HS og VS er det samme. Regn de derfor ut hver for seg. Eller sett et spørretegn over likhetstegnet.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Okai. Tror jeg skjønner det. Prøver med et eksempel igjen
1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)
1. Ser om det stemmer for n=1
VS: (4*1)-3=1
HS: 1*(2*1-1) = 1
2 Vi antar at det stemmer for n=k
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
3. Sjekke om det stemmer for k+1
VS:(1+5+9+...+(4k-3))+(1(2k-1))
VS: (4k-1)(2k-1)
Høyre side:
HS:(4k-1)((4k-1)-1)=((4k-1)(2k-1)
Stemmer dette?![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)
1. Ser om det stemmer for n=1
VS: (4*1)-3=1
HS: 1*(2*1-1) = 1
2 Vi antar at det stemmer for n=k
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
3. Sjekke om det stemmer for k+1
VS:(1+5+9+...+(4k-3))+(1(2k-1))
VS: (4k-1)(2k-1)
Høyre side:
HS:(4k-1)((4k-1)-1)=((4k-1)(2k-1)
Stemmer dette?
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Vi antar at det stemmer for k
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
Så sjekker vi om det stemmer for k+1. Altså vi legger til et ledd mer på venstresiden og får da
Under har vi k ledd på venstresiden
1+5+9+...+(4k-3)
Under har vi k+1 ledd på venstresiden
1+5+9+...+(4k-3) + (4(k+1)-3)
1+5+9+...+(4k-3) + (4k+1)
Også bruker vi at
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
Og får
[ 1+5+9+...+(4k-3) ] + (4k+1)
[ k(2k-1) ] + (4k+1)
osv =)
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
Så sjekker vi om det stemmer for k+1. Altså vi legger til et ledd mer på venstresiden og får da
Under har vi k ledd på venstresiden
1+5+9+...+(4k-3)
Under har vi k+1 ledd på venstresiden
1+5+9+...+(4k-3) + (4(k+1)-3)
1+5+9+...+(4k-3) + (4k+1)
Også bruker vi at
1+5+9+...+(4k-3)=k(2k-1)
Og får
[ 1+5+9+...+(4k-3) ] + (4k+1)
[ k(2k-1) ] + (4k+1)
osv =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Går du på høyskole / universitet må grunnlegende aritmetikk og algebra sitte som fjell.
[tex][ k(2k-1) ] + (4k+1) = (k+1)*(2k+1)[/tex]
Via elementær aritmetikk og algebra
[tex][ k(2k-1) ] + (4k+1) = (k+1)*(2k+1)[/tex]
Via elementær aritmetikk og algebra
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Jeg vet, jeg vet. Har snart fullført 3-åring øk.adm studie, men mangler matte som jeg har store problemer med å få has på.Nebuchadnezzar skrev:Går du på høyskole / universitet må grunnlegende aritmetikk og algebra sitte som fjell.
[tex][ k(2k-1) ] + (4k+1) = (k+1)*(2k+1)[/tex]
Via elementær aritmetikk og algebra
Tilbake til regnestykket. Forstår hva som skjer til nå, men å komme videre får jeg ikke til...
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
[tex]VS = (k+1)(2k+1)[/tex]
[tex]HS = (k+1)(2(k+1)-1) = (k+1)(2k+1)[/tex]
Siden HS = VS følger resten via induksjon
Om du ikke er så stø kan du bare forkorte og trekke sammen HS og VS hver for seg og vise at de er like. Du trenger ikke faktorisere begge sider. Så lenge du viser at de er identiske.
[tex]HS = (k+1)(2(k+1)-1) = (k+1)(2k+1)[/tex]
Siden HS = VS følger resten via induksjon
Om du ikke er så stø kan du bare forkorte og trekke sammen HS og VS hver for seg og vise at de er like. Du trenger ikke faktorisere begge sider. Så lenge du viser at de er identiske.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk