Differensialligning

[simher]

Vi har differensialligningen
x' - x2 = 1,
x(0) = 1.

skal være separabel.

Hvordan skal jeg løse den?

[wingeer]

Er det [tex]x^2[/tex]?

[simher]

ja skrev feil

[mstud]

Separabel når bare en variabel x el. y e.l. på hver side av likhetstegnet...

Integrer begge sider...

Bruk så x(0)=1 til å finne integrasjonskonstanten...

[krje1980]

Vi har:

[tex]x^\prime - x^2 = 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = 1 + x^2[/tex]

[tex]dy = (1 + x^2)dx[/tex]

[tex]y = x + \frac{x^3}{3} + C[/tex]

Tar du det videre herfra med initialbetingelsen?

[Nebuchadnezzar]

Står det ikke [tex]x^{\prime}[/tex] her og ikke [tex]y[/tex]?

Altså at likningen over er det samme som

[tex]y^{\prime} - y^2 = 1[/tex]

Da kan en som vektormannen har vist

gjøre noe slikt

[tex]x^{\prime} = x^2 + 1 [/tex]

[tex]\frac{dx}{dt} \frac{1}{x^2+1} = 1 [/tex]

[tex]\int \frac{1}{x^2+1} dx \, = \int 1 \, dt [/tex]

[simher]

får da:

1/x²+1 = 1
[symbol:integral] 1/x²+1 dx = [symbol:integral] 1 dy

arctan x = y + C

x = tan y + C

riktig så langt?

[Nebuchadnezzar]

Ja , nesten. Eneste du mangler er at du må ta tangens til hele høyresiden din.

Altså

[tex]x \, = \, \tan \left( y \, + \, \mathcal{C} \right) [/tex]

[simher]

Nå vil du jo være 2 ukjente da

både y og C. Har bare x(0) = 1

[krje1980]

Du har helt rett, Nebu! Beklager! Har sett meg så blind på analyse at jeg slurver ekstremt med selv elementære problemstillinger innenfor andre matematiske felt! Tok diff.ligninger i vår, og synes det var det enkleste faget hittil. Fikk A uten problemer! Og så slurver jeg til dette her! Ja, ja.

[Nebuchadnezzar]

Nå er det kanskje bare varierende notasjon som forvirrer deg litt.

Her spiller x rollen som navn på en funksjon og ikke som en variabel. Oppgaven din kan for eksempel skrives som

[tex]x^{\prime}(t) - x(t)^2 = 1[/tex]

dette er akkruatt det samme som

[tex]y^{\prime}(t) - y(t)^2 = 1[/tex]

En differensiallikning sier noe om en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte.

En funksjon er typisk sett på formen

[tex] y = x [/tex] som også kan skrives som [tex]f(x) = x[/tex]

Videre så kan en differensialllikning for eksempel skrives slik.

[tex]y^{\tiny\prime}(x) = y(t)[/tex]

Denne sier at den deriverte av funksjonen y, er lik funksjonen y, for alle x.

Meningen blir å finne alle funksjoner, som er slik at for UANSETT hvilken x, verdi du putter inn. Så skal x, verdien til den deriverte være lik.

Løsningen over er for eksempel [tex]e^x[/tex] siden den er sin egen verdi.

Matematikkere er late av definisjon. Så det er vanlig å forkorte difflikninger til.

[tex]y^{\tiny\prime} = y[/tex]

Men her er [tex]y[/tex] fortsatt en funksjon. Og den må ha en variabel. variabelnavnet spiller ingen rolle. Vanligvis bruker vi [tex]t[/tex] men x fungerer og.

Du har en differensiallikning som ser slik ut

[tex]x^{\tiny\prime} - x^2 \, = 1[/tex]

Men det som egentlig står ovenfor. Er at du har en funksjon x, som avhengier av en variabel. For eksempel y , t eller noe annet. Altså at vi kan skrive det ovenfor som

[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2 \, = 1[/tex]

Løsningen her blir da, at alle funksjoner som er på formen

[tex]x(t) \, = \, \tan( t + C )[/tex]

fungerer. Det betyr at uansett hvor hvilken t, verdi du setter inn i funksjonen [tex]x[/tex]

Så skal

[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2[/tex]

bli lik 1.

Så KORT SAGT. I oppgaven din så spiller [tex]x[/tex] rollen som navnet på funksjonen din, ikke en variabel. Vi står fritt til å velge navn på variabelen, for eksempel [tex]x(t)[/tex] eller [tex]x(y)[/tex].

[simher]

greit da skjønner jeg hva som skal gjøres.
ble litt surr i notasjonen

men takk for hjelpen

[Nebuchadnezzar]

Ikke noe problem

Øving 10 du holder på med?

[Integralen]

Med den betingelsen som er gitt i oppgaven får man:

[tex]x(t)=tan(\frac{\pi}{4}+t)[/tex]