Geometrisk rekke

[inamg]

Hei.
Jeg sliter med at jeg ikke husker noe av dette siden videregående, og finner ikke ut hvordan jeg skal løse oppgavene. Setter stor pris på hjelp!
(Jeg kommer ikke til å direkte kopiere svarene dere gir, men bruke dem som utgangspunkt for å forstå hva jeg skal gjøre).

Ta utgangspunkt i den geometriske rekken:
g(x)=[symbol:sum] 0≤n<∞, x^n = 1/ (1-x)
som konvergerer absolutt når |x|<1

a) finn Maclauring-rekken (Taylor-rekken omkring x=0) til funksjonen
h(x)=(2x^19)/(1-x)^3 ved manipulasjon av den geometriske rekken ovenfor. Hunt: Regn først ut (d/dx)(1/(1-x)). For hvilke x konvergerer denne nye rekken?

b) Finn den funksjonen som har Maclaurin-rekke
g(x)=[symbol:sum] 0≤n<∞, (x^n)/(n+1)
Hint: Regn først ut (1/x) [symbol:integral] x,0 f^n dt

c) Vis at integralet [symbol:integral] x,0 g(-t) dt leder til Maclaurin-rekken for funksjonen ln(1+x)

d) bruk det faktum at 3=(3/2)/(1/2)=(1+(1/2))/(1-(1/2)) til å beregne tre stadig bedre tilnærminger til ln3 ved hjelp av Maclaurin-rekkene av grad 3, 5, og 7 for ln(1+x) med x= [symbol:plussminus] (1/2). Til sammenligning er følgende verdi korrekt til 4 desimaler: 1,0986


HJELP MEG!! (og tusen hjertelig takk på forhånd)

[svinepels]

Legg merke til at

[tex]\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{2}{(1-x)^3}[/tex]

Altså får vi

[tex]h(x)=\frac{2x^{19}} {(1-x)^3} = x^{19} \left[ \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} \left( \frac{1}{1-x} \right) \right] [/tex]

Kanskje dette kan brukes til å løse første oppgave?