Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
I lineær algebra har foreleseren vår kommet med to definisjoner: En matrisetransformasjon er en funksjon [tex]T:\mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}[/tex] som er gitt ved [tex]T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}[/tex] der A er en m x n-matrise. En lineærtransformasjon [tex]T: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}[/tex] er en funksjon med egenskapen [tex]T(\mathbf{x_1} + \mathbf{x_2}) = T(\mathbf{x_1}) + T(\mathbf{x_2})[/tex] for alle [tex]\mathbf{x_1},\mathbf{x_2} \in \mathbb{R^n}[/tex].
Foreleseren sa også at en funksjon er en matrisetransformasjon hvis og bare hvis den er en lineærtransformasjon. Å vise dette den ene veien er trivielt, men å vise at en lineærtransformasjon nødvendigvis må være en matrisetransformasjon synes jeg er verre. Noen som har noen forslag til hvordan man går fram for å gjøre dette?
Med forbehold om at jeg misforstår hva du vil vise:
La [tex]A[/tex] være en [tex]m\times n[/tex] matrise der [tex]A = [T(\vec{e}_1)\, T(\vec{e}_2)\,\ldots\, T(\vec{e}_n)][/tex] og [tex]\vec{e}_1 = [1\,0\,0\,0\,\ldots\,0]^T, \vec{e}_2 = [0\,1\,0\,\ldots\,0]^T,\,\ldots\, \vec{e}_n = [0\,0\,0\,0\,\ldots\,1]^T[/tex]
Du har at [tex]\vec{x} = [x_1\,x_2\,\ldots\,x_n]]^T = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}2+\ldots+x_n\vec{e}_n[/tex].
Dytt alle [tex]x[/tex]'ene inn i [tex]T[/tex], som er en lin.transformasjon;
[tex]T(\vec{x}) = T(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\ldots+x_n\vec{e}_n)[/tex]. Siden [tex]T(\vec{x})[/tex] er en lin. transformasjon kan du løse opp:
[tex]T(\vec{x}) = x_1T(\vec{e}_1)+x_2T(\vec{e}_2)+\ldots+x_nT(\vec{e}_n) = [T(\vec{e}_1)\,T(\vec{e}_e)\,\ldots\,T(\vec{e}_n)][x_1\,x_2\,\ldots\,x_n]^T = A\vec{x}[/tex], som er en matrisetransformasjon.
