Vis at (integral)

[Integralen]

Hvordan løser man disse 3 oppgavene nevnt under?:

Oppgave 9.2.27

Sett [tex]\: a_n=\int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{sin(x)}{x} dx[/tex]

for n=1,2,3....

a) Vis at vi kan skrive

[tex]a_n=(-1)^n \int _{0}^{\pi} \frac{sin(x)}{n \pi +t}dt[/tex]

og at ulikheten [tex]\: |a_{n+1}| < |a_n|[/tex] holder.





b) Bruk ulikhetene

[tex]\frac{sin(t)}{(n+1)\pi} \: < \: \frac{sin(t)}{n\pi +t} \: \leq \: \frac{1}{n\pi+t}[/tex]

for [tex] \: 0<t<\pi[/tex]

til å vise

[tex]\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n+1} < |a_n|< ln(1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n}[/tex].



c) Forklar hvorfor følgen {a_n} konvergerer og finn

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n[/tex]

På forhånd takk!

[Per Spelemann]

Noen tanker:

a)
For å vise omformingen kan du nok bruke en enkel substitusjon og periodisiteten til sinus-funksjonen.
For å vise at ulikheten stemmer, kan det nok være smart å ta for seg nevneren.

b)
Vil tro du kommer et godt stykke ved å integrere uttrykkene i de førstnevnte ulikhetene.

c)
«Skvising» fra oppgave b) kan nok være til hjelp.