MA102E004 Bodø. Trenger litt hjelp...

[Anti-geniet]

Heisann. Ny innleveringsoppgave her i Bodø, trenger litt hjelp.

---------
Oppgave K b)

En mann vinner en stor sum penger i Lotto. Han er svært glad i småfugler og bestemmer seg for å avsette 1 million kroner i et fond som skal gi årlige utbetalinger til blant annet fuglefrø. På grunn av det gode formålet får han en bank til å gi 10 % årlig avkastning på fondet. Etter 1 år vil han betale ut en viss sum. På grunn av prisstigning skal denne summen øke med 3 % per år. Etter den 50. utbetalingen skal fondet være tomt og utbetalingene slutte. Hvor stor blir den første utbetalingen?

Det hadde vært gøy hvis fondet mitt kunne vart i ”ubegrenset” mange år, tenkte mannen. La betingelsene være de samme som over og finn størrelsen på den første utbetalingen når fondet skal vare i ”all evighet”.
-----------

Er det noen som kunne hjulpet meg litt med denne, i det minste gitt noen hint om hvilke matematiske "trylleformler" jeg må bruke får å løse dette? Er helt på villspor

[Gjesten]

Trenger også litt hjelp på denne... Sikkert ganske lett egentlig,men jeg eier ikke evne til å tenke logisk... Noe som er litt dumt når det er matte en holder på med

[matteline...]

Det må da være noen som kan hjelpe oss med denne...

[binders]

Solar Plexus?

[Gjest]

La F(n) vera storleiken på fondet etter n år. F(0) = 1000000. Vidare, la S vera storleiken på den første utbetalinga. Me har då rekursjonsformelen

F(n+1) = F(n)*1,1 - S*1,03^n

Det første leddet til høgre viser gamal fondstorleik + avkasting. Det andre leddet viser så utbetalinga: Den er S første året, og aukar så med 1,03 for kvart år som har gått. Altså er F(1) = F(0)*1,1 - S, F(2) = F(1)*1,1 - S*1,03 og så vidare.

Me må finna eit meir passande uttrykk for F(n). Det er jo då passande å observera at me har ein heterogen differenslikning (det er tilstrekkeleg å kjenna til geometriske rekkjer). Me får i alle høve formelen

Me finn F(n) = [F(0) - A] * 1,1^n + A *1,03^n = F(0)*1,1^n - A[1,1^n - 1,03^n]

der A = 100S/7 (Sjekk at dette stemmer! F(0) må vera F(0) og rekursjonsformelen må passa overeins med denne formelen)

Oppg. 1: Me skal ha F(50) = 0, dvs. at F(0) * 1,1^50 = A(1,1^50 - 1,03^50), dvs.

A = F(0) * 1,1^50 /(1,1^50 - 1,03^50) = F(0)/[1 - (1,03/1,1)^50]. Når A er funnen, så er det lett å finna S.

Oppg. 2: Dersom F(n) = 0, så er A = F(0)/[1 - (1,03/1,1)^n]. For aukande n er dette uttrykket minkande, med nedre grense F(0). Me må ha A så liten at F(n) aldri er 0, og den maksimale A er difor F(0). Det er no lett å finna S.

[Gjest]

Heisann...

Lurer litt på hvordan du kom frem til A = 100S/7?
Hva er det egentlig A representerer her?