Grense-sammenlikningskriteriet

[Razzy]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\sin }^2}n} \over {{n^2} + 5n}}} $$[/tex]

Syntes det var litt vanskelig å se hva jeg skal sammenlikne med?

Foreslår: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{k^2}}},\;som\;jeg\;vet\;konvergerer.} $$[/tex]


Vanligvis kan f.eks. jeg gjøre slik: [tex]$$\left( {{{\sqrt n } \over {{n^2}}} = \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right)$$[/tex] som ville sagt meg at jeg kunne sammenligne med: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {k^{\frac{3}{2}}}}},\;som\;jeg\;vet\;konvergerer,\;da\;p > 1.} $$[/tex]

Men hva gjør jeg med tilsvarende oppgaver som ovenfor?

EDIT: Oppgaver med sinus i.

[Vektormannen]

Her har jeg følgende forslag: [tex]n^2 + 5n > n^2[/tex], ikke sant? Så da er [tex]\frac{1}{n^2 + 5n} < \frac{1}{n^2}[/tex]. Er du enig i det? Nå gjenstår det å gjøre rede for sinus-faktoren. Kan du si noe om denne? (Hint: Hva er verdimengden til sinus-funksjonen?)

[gundersen]

du vet at [tex]sin^{2}(n) \leq 1[/tex] Du kan derfor si at:
[tex]\frac{sin^{2}(n)}{n^2+5n} < \frac{1}{n^2+5n}[/tex] Ser du hva du kan gjøre herfra?
EDIT: vektormannen kom meg i forkjøpet Litt artig at vi valgte å se på to forskjellige ting som sammen løste hele oppgaven for han got lucky

[Vektormannen]

Hehe, sånn går det når vi er så ivrige her inne

[Razzy]

Nå føler jeg dere bruker mer Sammenligningskriterier enn Grense-sammenligningskriteriet ?

Jeg ville foreslått:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\sin }^2}n} \over {{n^2} + 5n}}} \;\;,\;der\;\;n > 1.$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{sin^2n}{n^2+5n}}{\frac{1}{n^2}} \cdot {{{n^2}} \over {{n^2}}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2}{{\sin }^2}n} \over {{n^2} + 5n}} \cdot {{{n^{ - 2}}} \over {{n^{ - 2}}}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{sin^2n}{1+\frac{5}{n}} = {{{{\sin }^2}n} \over {1 + 0}}$$[/tex]


Satt meg litt fast med sinusen på slutten der, resonnerte meg frem til:

[tex]$$ - 1 \le \sin n \le 1$$[/tex]

[tex]$$1 \le {\sin ^2}n \le 1$$[/tex]

Altså sinus er større enn eller lik 1, og mindre enn eller lik 1. Dette sier meg at sinus må være [tex]$${\sin ^2}n = 1$$[/tex]


Fra Wolfram ser jeg at rekken min skal konvergere:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum[%28+sin+^%282%29%29%2F%28x^%282%29%2B5x%29%2Cx%3D1%2C+infinity+]

[Vektormannen]

Ok, beklager, da gjør vi det på den måten. Jeg er enig i regningen din frem til og med [tex]\frac{\sin^2 n }{1} = \sin^2 n [/tex], men ikke i dobbeltulikheten etterpå.

Når du har en dobbeltulikhet så kan du ikke bare opphøye alle sider i et tall. Syns du det virker rimelig at [tex]\sin^2 n = 1[/tex] uansett hva n er? Sinus blir kun 1 når argumentet er [tex](2k-1)\frac{\pi}{2}[/tex]. Det skjer aldri her, siden n bare er hele tall.

Det er riktig at [tex]-1 \leq \sin n \leq 1[/tex]. Det vil altså si at sin n er mellom -1 og 1. Men da må [tex](\sin n)^2[/tex] være mellom 0 og 1, ikke sant? (Alle verdiene som er mellom 0 og 1 vil forbli mellom 0 og 1 når man opphøyer i andre, mens de som er mellom -1 og 0 vil opphøyes til et tall mellom 0 og 1. Det er ikke slik at alle tallene plutselig blir 1 når du opphøyer i andre.)

Ok, så det vi har nå er at [tex]0 \leq \sin^2 n \leq 1[/tex]. Grensesammenligningstesten sier at hvis denne grensen blir forskjellig fra 0 og ikke uendelig, og den kjente rekken konvergerer, så vil også denne gjøre det. Her er ikke det helt i boks enda, for vi har, slik det står nå at [tex]\sin^2 n [/tex] kan bli 0. Men er det mulig når n bare er et helt tall?

[Razzy]

Det er riktig at [tex]-1 \leq \sin n \leq 1[/tex]. Det vil altså si at sin n er mellom -1 og 1. Men da må [tex](\sin n)^2[/tex] være mellom 0 og 1, ikke sant? (Alle verdiene som er mellom 0 og 1 vil forbli mellom 0 og 1 når man opphøyer i andre, mens de som er mellom -1 og 0 vil opphøyes til et tall mellom 0 og 1. Det er ikke slik at alle tallene plutselig blir 1 når du opphøyer i andre.)

Ok, så det vi har nå er at [tex]0 \leq \sin^2 n \leq 1[/tex]. Grensesammenligningstesten sier at hvis denne grensen blir forskjellig fra 0 og ikke uendelig, og den kjente rekken konvergerer, så vil også denne gjøre det. Her er ikke det helt i boks enda, for vi har, slik det står nå at [tex]\sin^2 n [/tex] kan bli 0. Men er det mulig når n bare er et helt tall?

Syntes det har vært veldig vanskelig å se at: [tex]-1 \leq \sin n \leq 1[/tex] blir til: [tex]0 \leq \sin^2 n \leq 1[/tex] - men det ser jeg nå.

Sjekket også om [tex]$${\sin ^2}n = 0$$[/tex] ved bruk av n>1, ifølge kalkulatoren min skjer ikke dette fra n=1 til n=20 hvertfall... Må vel til med induksjonstest her for å bevise at det ikke stemmer?

Har du en enkel og logisk forklaring for hvorfor det ikke er slik?


Tilbake til oppgaven: [tex]{\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{sin^2n}{1+\frac{5}{n}} = {{{{\sin }^2}n} \over {1 + 0}}[/tex]

Nå vet jeg at [tex]$${\sin ^2}n$$[/tex] aldri får verdien 0, men vet jeg at L eksisterer? At dette ikke går mot uendelig?

Hvordan ville du ført slutten?

[Vektormannen]

Nå vet jeg at [tex]$${\sin ^2}n$$[/tex] aldri får verdien 0, men vet jeg at L eksisterer? At dette ikke går mot uendelig?

Jeg beklager, her har jeg oversett noe viktig selv . Vi vet at [tex]\sin^2 n[/tex] ikke blir uendelig, siden den er mellom 0 og 1. Men du har et viktig poeng når du spør om grensen eksisterer, for det gjør den faktisk ikke. [tex]\sin^2 n[/tex] vil ikke gå mot en bestemt verdi når n går mot uendelig, siden den hele tiden veksler mellom verdier mellom 0 og 1 et sted (sinusfunksjonen gjentar jo seg selv).

Så i bunn og grunn så fører ikke grensesammenligningstesten frem her, og for å vise at rekken konvergerer må du bruke f.eks. sammenlignignskriteriet, som gundersen og jeg brukte ovenfor her.

[Razzy]

Nå vet jeg at [tex]$${\sin ^2}n$$[/tex] aldri får verdien 0, men vet jeg at L eksisterer? At dette ikke går mot uendelig?

Jeg beklager, her har jeg oversett noe viktig selv . Vi vet at [tex]\sin^2 n[/tex] ikke blir uendelig, siden den er mellom 0 og 1. Men du har et viktig poeng når du spør om grensen eksisterer, for det gjør den faktisk ikke. [tex]\sin^2 n[/tex] vil ikke gå mot en bestemt verdi når n går mot uendelig, siden den hele tiden veksler mellom verdier mellom 0 og 1 et sted (sinusfunksjonen gjentar jo seg selv).

Så i bunn og grunn så fører ikke grensesammenligningstesten frem her, og for å vise at rekken konvergerer må du bruke f.eks. sammenlignignskriteriet, som gundersen og jeg brukte ovenfor her.

Så her faller hele korthuset mitt sammen og jeg må bevise hypotesen min om at den konvergerer med en annen test! hehe

På skolen har vi jo gått fra emne: Integralgriteriet til Sammenligningskriteriet og Grense sml.kriteriet og nå skal vi begynne på forholdskriteriet.

Det jeg skal fram til her er et hvis jeg ikke er så "trygg" på sammenligningskriteriet kan jeg bevise dette med integralkriteriet istedet f.eks.?

Føles ut som jeg har endel valg her!

Kravne for integralkriteriet er jo: rekken må være monotont avtakende og konvergere mot null der alle ledd er positive og at funksjonen jeg definerer må være kontinuerlig og avtakende for x > eller lik 1.

Integraltesten kan være en gangske omfattende test, evt kan jeg jo ta en l¨hopital?

Mye valg. Tror jeg prøver med på sammenligningstesten da oppgaven ber meg velge mellom sml.testen og grense.sml.testen... puh mye tekst her

[Nebuchadnezzar]

For at integraltesten skal fungere må du kunne klare å integrere [tex]a_n[/tex], klarer du det her?

Som nevnt tidligere

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)^2}{n^2 + 5} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - \frac{1}{n+5} = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 = \frac{137}{60}[/tex]

siden rekken vi sammenlikner med er teleskoperende.

[Razzy]

For at integraltesten skal fungere må du kunne klare å integrere [tex]a_n[/tex], klarer du det her?

At jeg klarer å integrere [tex]$${1 \over {{n^2}}}$$[/tex] ?

[Nebuchadnezzar]

Nei, tenkte mer på direkte [tex]\int_1^\infty \sin(n)^2/(n^2+5n) \,\mathrm{d}n[/tex]

Men husk at du ikke kan bruke integraltesten på [tex]1/n^2[/tex], da dette ikke vil si noe om rekka di. Det du kan gjøre er å se at

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)^2}{n^2+5n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+5n}[/tex]

også bruke integraltesten på

[tex]\int_1^\infty \frac{\mathrm{d}n}{n^2+5n}[/tex]

eller se at sistnevnte rekke er en teleskoperende rekke, som ikke er fryktelig vanskelig å beregne summen av.

[Razzy]

Nei, tenkte mer på direkte [tex]\int_1^\infty \sin(n)^2/(n^2+5n) \,\mathrm{d}n[/tex]

Men husk at du ikke kan bruke integraltesten på [tex]1/n^2[/tex], da dette ikke vil si noe om rekka di. Det du kan gjøre er å se at

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)^2}{n^2+5n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+5n}[/tex]

også bruke integraltesten på

[tex]\int_1^\infty \frac{\mathrm{d}n}{n^2+5n}[/tex]

eller se at sistnevnte rekke er en teleskoperende rekke, som ikke er fryktelig vanskelig å beregne summen av.

Dette ble NTNU stoff...

Hvis jeg heller prøver meg mot sml.kriteriet:

[tex]$${{{{\sin }^2}n} \over {{n^2} + 5n}} \ge d \cdot {1 \over {{n^{p\; \le \;1}}}}$$[/tex]

Men hva skal jeg sammenligne mot? Var litt vanskelig å se; kanskje 1/n?

EDIT: Det står visst om dette lengre oppe i tråden... sry

[Razzy]

du vet at [tex]sin^{2}(n) \leq 1[/tex] Du kan derfor si at:
[tex]\frac{sin^{2}(n)}{n^2+5n} < \frac{1}{n^2+5n}[/tex] Ser du hva du kan gjøre herfra?

[tex]\frac{sin^{2}(n)}{n^2+5n} < \frac{1}{n^2+5n}[/tex]

Er ikke helt med på hvorfor dere holder på med: [tex]\frac{1}{n^2+5n}[/tex] jeg skal jo sammenligne med en p-rekke.

Og jeg skal også vise at: [tex]$${{{{\sin }^2}n} \over {{n^2} + 5n}} \ge d \cdot {1 \over {{n^{p\; \le \;1}}}}$$[/tex]

Fordi hvis det under divergerer så vil også det som er større divergere. Det vil jo på en måte skyve [tex]$${{{{\sin }^2}n} \over {{n^2} + 5n}}$$[/tex] det foran seg.


Vektormannen er du her?

[Vektormannen]

Les min første post sammen med gundersen sin. De to løser problemet