Trenger hjelp til sin og cos i forhold til en derivasjonsopg

[kidswood]

Kan noen forklare for meg hvordan

f(x)=cos^3 x sin x

sin deriverte blir

f'(x)=cos^4 x - 3cos^2 x sin^2 x


??

Litt steg for steg fremgangsmåte/tenkemåte her (med utgangspunkt i kjerneregelen). Kan jo i all hovedsak derivasjonsregler, men er nok litt rusten, og dette forvirrer meg.

[wingeer]

Vi benytter oss først av at den deriverte av et produkt fg er:
[tex](fg)\prime = f \prime g + fg \prime[/tex] som gir at:
[tex](\cos^3(x) \sin(x)) \prime = (\cos^3(x)) \prime \sin(x) + \cos^3(x) (\sin(x)) \prime[/tex].
Vi vet hva den deriverte av sinus er, så det gjenstår finne ut hva:
[tex](\cos^3(x)) \prime[/tex] er. Til dette bruker vi kjerneregelen som sier at hvis du har en sammensatt funksjon vil den deriverte til denne funksjonen være:
[tex](f(g(x))) \prime = f \prime (g(x))g \prime (x)[/tex] som i vårt tilfelle gir:
[tex](\cos^3(x)) \prime = ((\cos(x))^3) \prime = 3(\cos(x))^2 (\cos(x)) \prime [/tex]. Men igjen vet vi hva den deriverte av cosinus er, så vi får at:
[tex](\cos^3(x) \sin(x)) \prime = (3(\cos(x))^2 (\cos(x)) \prime) \sin(x) + \cos^3(x) (\sin(x)) \prime[/tex].
Som du skal få lov til å løse opp selv.