Spørsmål om konvergenskriterier

[Razzy]

[tex]$${\rm I.}$$[/tex]


Tolker jeg dette riktig hvis jeg sier at:


[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \;konvergerer\; \Rightarrow \;absolutt\;konvergens$$[/tex]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \;divergerer\; \Rightarrow \;betinget\;konvergens$$[/tex]



Videre har jeg et spørsmål til hentet fra min formelsamling:

[tex]$${\rm II.}$$[/tex]


Kan jeg egentlig droppe de testene i [tex]$${\rm II.}$$[/tex] hvis jeg kommer i havn med [tex]$${\rm I.}$$[/tex]?

Bare føler det er mye smør på flesk her, men jeg skjønner jo at det kan komme ulike situasjoner det ulike knep er nødvendig.

Kan dere si noe om dette? (surrer litt her)

[Vektormannen]

Du tolker det første nesten riktig. Betinget konvergens har vi når rekka konvergerer, mens absoluttverdirekken (den samme rekken men med absoluttverdien av leddene) divergerer.

Til det andre: I er ikke en test, det er bare et par begrep som defineres (altså hva det vil si at en rekke konvergerer absolutt og betinget.) Det er for å finne ut disse tingene du må bruke testene i II. Eller mener du noe annet?

[Razzy]

Betinget konvergens har vi når rekka konvergerer, mens absoluttverdirekken (den samme rekken men med absoluttverdien av leddene) divergerer.

Er det ikke nøyaktig det jeg skriver her:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \;divergerer\; \Rightarrow \;betinget\;konvergens$$[/tex]

Til det andre: I er ikke en test, det er bare et par begrep som defineres (altså hva det vil si at en rekke konvergerer absolutt og betinget.) Det er for å finne ut disse tingene du må bruke testene i II. Eller mener du noe annet?

Hvis jeg f.eks får i oppgave å undersøke denne: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over n}} $$[/tex]

Istede for å bruke testene i II. kan jeg bare gjøre slik:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over n}} $$[/tex]

Som er en vel kjent rekke (p=1, divergerer).


Da kan jeg jo si at:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \;divergerer\; \Rightarrow \;betinget\;konvergens$$[/tex]

Eller er jeg nødt til å vite at [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \;konvergerer$$[/tex] for å kunne si dette?

Isåfall er jeg jo nødt til å innom testene i II.

[Vektormannen]

Ja. Poenget mitt i sted (der står der om du leser det en gang til ) var nettopp at det at den absolutte rekken divergerer ikke er nok for å si at rekken er betinget konvergent. Den kan like gjerne være divergent. Det vet du bare ved å se på [tex]\sum a_n[/tex].

For å si det slik: Hvis rekken er absolutt konvergent så er saken klar. Da konvergerer rekken. Hvis rekken derimot ikke er absolutt konvergent, kan den være betinget konvergent, og det må da undersøkes nærmere.

[Razzy]

Ok, et siste spørsmål så skal jeg gi meg:


Jeg har en rekke med ikke bare positive tall: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$[/tex]

Ved se på absoluttverdien: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} $$[/tex]

Med å se på mener jeg at jeg kan direkte gjenkjenne noe f.eks: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over n}} $$[/tex]

eller bruke forholdstesten med absoluttverditegn: [tex]$$R = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left| {{a_{n + 1}}} \right|} \over {\left| {{a_n}} \right|}}$$[/tex]



Jeg kan ende opp med 2 tilfeller (som vi har snakket om):


[tex]$${\rm I}.$$[/tex][tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \;konvergerer\; \Rightarrow \;absolutt\;konvergens$$[/tex]

Denne er grei.


[tex]$${\rm II}.$$[/tex][tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} \;divergerer$$[/tex]

Her må jeg som du sier undersøke videre. Slik jeg føler det her, betyr det en utvei - alternerende rekkers test.

Hvis jeg får at den Alternerende rekkers test feiler; hva sier det meg da?

Da har jeg ikke betinget konvergens, men jeg mener læreren min sa at den fortsatt kan konvergere bare at vi ikke kan dokumentere det??


Virker forresten som følgende eksempel ikke sjekker om [tex]$$\sum {{a_n}} $$[/tex] konvergerer før han konkluderer med bet konvergens (delspm a).

[Lord X]

Ja, her antar dei at vi veit rekkene konvergerer(f.eks. ved alternerande rekke test); i spørsmålet spør dei derfor kun etter om konvergensen er absolutt eller ikkje.

[Razzy]

Ja, her antar dei at vi veit rekkene konvergerer(f.eks. ved alternerande rekke test); i spørsmålet spør dei derfor kun etter om konvergensen er absolutt eller ikkje.

Takk Lord X