Tilnærming av integral/potensrekke

[Razzy]

Først fikk jeg i oppgave å:


[tex]$$Bruk\;kjente\;rek\ker \;til\;{\aa}\;vise\;at:\;\;{e^{ - {x^3}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot {{{x^{3n}}} \over {n!}}} $$[/tex]

[tex]$${e^x} = 1 + x + {1 \over {2!}}{x^2} + {1 \over {3!}}{x^3} + {1 \over {4!}}{x^4} + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{1 \over {n!}} \cdot {x^n}} $$[/tex]


[tex]$$Erstatter\;x \to - {x^3}:$$[/tex]

[tex]$${e^{ - {x^3}}} = 1 + \left( { - {x^3}} \right) + {1 \over {2!}}{\left( { - {x^3}} \right)^2} + {1 \over {3!}}{\left( { - {x^3}} \right)^3} + {1 \over {4!}}{\left( { - {x^3}} \right)^4} + \cdots $$[/tex]

[tex]$${e^{ - {x^3}}} = 1 - {x^3} + {1 \over {2!}}{x^6} - {1 \over {3!}}{x^9} + {1 \over {4!}}{x^{12}} + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{{{x^{3n}}} \over {n!}}} $$[/tex]

Dette gikk bra.


Så fikk jeg oppgaven:

[tex]$${{e^{ - {x^3}}}}$$[/tex] har ingen lett antiderivert. Forklar hvorfor vi fra (oppgaven ovenfor) likevel kan vite at:


[tex]$$I = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n! \cdot \left( {3n + 1} \right)}}} } $$[/tex]

Oppgi hvilke resultater du bruker.

Oppgir jeg hvilke resultater jeg bruker her: ?

[tex]$$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - {x^3} + {1 \over {2!}}{x^6} - {1 \over {3!}}{x^9} + {1 \over {4!}}{x^{12}} + \cdots } \right)} \;dx$$[/tex]

[tex]$$I = \left[ x \right]_0^1 - \left[ {{1 \over 4}{x^4}} \right]_0^1 + \left[ {{1 \over {2! \cdot 7}}{x^7}} \right]_0^1 - \left[ {{1 \over {3! \cdot 10}}{x^{10}}} \right]_0^1 + \left[ {{1 \over {4! \cdot 13}}{x^{13}}} \right]_0^1$$[/tex]

[tex]$$I = 1 - \left( {{1 \over 4} \cdot {1^4}} \right) + \left( {{1 \over {2! \cdot 7}} \cdot {1^7}} \right) - \left( {{1 \over {3! \cdot 10}} \cdot {1^{10}}} \right) + \left( {{1 \over {4! \cdot 13}} \cdot {1^{13}}} \right) - \cdots = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n! \cdot \left( {3n + 1} \right)}}} $$[/tex]

[svinepels]

Ser greit ut det her. Regner med at det ikke er nødvendig å argumentere for hvorfor du kan integrere potensrekka ved å integrere hvert ledd.

[Razzy]

Ser greit ut det her. Regner med at det ikke er nødvendig å argumentere for hvorfor du kan integrere potensrekka ved å integrere hvert ledd.

Flott, gøy når dere er enige.

Jeg kan jo vurdere å slenge inn en kommentar, takk!