Konvergensintervall

[Razzy]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}} \over n}} $$[/tex]


Forholdstesten:

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{{a_{n + 1}}} \over {{a_n}}}} \right| = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left | \frac{\frac{\left (-1 \right )^{n+1}x^{n+1}}{n+1}}{\frac{\left (-1 \right )x^{n}}{n}} \right | = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{x^{n + 1}}} \over {n + 1}} \cdot {n \over {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}}}} \right|$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{\left( { - 1} \right)x \cdot n} \over {n + 1}}} \right| = \left( { - 1} \right)\left| x \right| \cdot {\lim }\limits_{n \to \infty } {n \over {n + 1}} = - \left| x \right| \cdot 1 = - \left| x \right|$$[/tex]


[tex]$$Konvergerer\;n{\aa}r:$$[/tex]

[tex]$$L\; < 1\;\; \Leftrightarrow \;\; - \left| x \right|\; < \;1\;\; \Leftrightarrow \;\; - 1 < - x < 1\;\; \Leftrightarrow \;\;1 > x > - 1$$[/tex]



Når jeg skal sjekke endtepunktene; hvis jeg får at [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{a_n}} \right|} $$[/tex] divergerer og at den alternerende testen feiler dvs at jeg i tillegg får: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$[/tex]

Dette oppfyller jo ikke kravet til betinget konvergens, blir det da bare divergens? Eller må jeg bruke andre tester enn ART for å finne ut om [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$[/tex] virkelig divergerer eller ikke? (Altså at ART ikke er så bulletproof)

[Lord X]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}} \over n}} $$[/tex]


Forholdstesten:

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{{a_{n + 1}}} \over {{a_n}}}} \right| = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left | \frac{\frac{\left (-1 \right )^{n+1}x^{n+1}}{n+1}}{\frac{\left (-1 \right )x^{n}}{n}} \right | = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{x^{n + 1}}} \over {n + 1}} \cdot {n \over {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}}}} \right|$$[/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{{\left( { - 1} \right)x \cdot n} \over {n + 1}}} \right| = \left( { - 1} \right)\left| x \right| \cdot {\lim }\limits_{n \to \infty } {n \over {n + 1}} = - \left| x \right| \cdot 1 = - \left| x \right|$$[/tex]

Kor får du minusen frå? Hugs at absoluttverdien av -1 er +1 dvs. vi får berre [tex]L=|x|[/tex], og vi har altså konvergens for L<1 dvs. for
[tex]-1<x<-1[/tex] (som riktignok var det du sa, sjølv om utleiinga di var feil )

Forøvrig er ulikskapen du har skrevet opp alltid sann, ettersom:

[tex]-|x|\leq{0}<1[/tex]

L-en skal alltid vere eit tal som er større eller lik null!

Men tilbake til rekka..

Du må altså sjekke konvergensen av rekka i x=1 og x=-1. For x=-1 ser vi at vi får den harmoniske rekka, som vi veit divergerer. For x=1 får vi den alternerende harmoniske rekka, som konvergerer (f.eks. ved alternerende rekke test).

[Razzy]

Takk, ser jeg fikk på en smell det...