Lineære avbildninger

[gundersen]

[tex]C^{1}([0,1],\mathbb{R})\cap BC([0,1],\mathbb{R})\rightarrow BC([0,1],\mathbb{R})[/tex]
[tex]f\rightarrow f\prime[/tex]
med [tex]BC([0,1],\mathbb{R})[/tex] - normen på underrommet [tex]C^{1}([0,1],\mathbb{R})[/tex]

Skal se om dette er en lineær, eller lineær og bundet avbildning.
Har gjort lignende oppgaver med i andre rom, men vet ikke hvor jeg skal begynne her :p vært fint med et lite hint på hvordan jeg skal prøve å løse denne oppgaven :s

[Vektormannen]

Når det gjelder linearitet så er det vel allment kjent at derivasjonsoperatoren er lineær. Jeg tror ikke det må vises? Både f og f' er i BC([0,1], R). Da skal det ikke så mye mer til for å vise at transformasjonen er bundet tror jeg? Kan godt være jeg har tenkt for enkelt her. Var litt usikker på dette selv...

Edit: transformasjonen eri kke bundet, et moteksempel på det er f.eks. [tex]f(x) = \sin nx[/tex].

[svinepels]

Det kritiske i denne oppgaven er at det skal være den samme konstante M'en som opptrer i ulikheten

[tex]||f^{\prime}|| \leq M ||f||[/tex]

for alle funksjoner f i rommet. Selv måtte jeg klø meg litt i hodet før jeg innså dette. Om jeg har tenkt riktig, er følgende da et eksempel på at vi ikke har med en begrenset transformasjon å gjøre:

For enhver n, definer [tex]f_n(x) = e^{nx}[/tex]. Anta at det eksisterer en M som i ulikheten over. Da har vi

[tex]||f_n^{\prime}|| = \sup_{x \in [0,1]}|ne^{nx}| = ne^n[/tex]
[tex]||f_n|| = \sup_{x \in [0,1]}|e^{nx}| = e^n[/tex]

Så følgende ulikhet må gjelde:

[tex]ne^n \leq Me^n[/tex]

som gir

[tex]n \leq M[/tex]

Men dette gjelder åpenbart ikke for n = M+1, altså har vi nådd en selvmotsigelse.

[Vektormannen]

Klødde meg en del i hodet der jeg også. Men slik må det være ja

Syns oppgave 3 på denne øvingen var drøy. Kommet på noe lurt der?

[Nebuchadnezzar]

Spurte selv om den oppgaven her

http://math.stackexchange.com/questions ... sformation

Fikk noen fornuftige svar, etter hjelpen sliter jeg fortsatt med Oppgave 4, noen smarte hint eller tips der?

[Vektormannen]

Husk at en lineær transformasjon fra [tex]\mathbb{R}^n[/tex] til [tex]\mathbb{R}^m[/tex] kan representeres av en mxn-matrise. Her blir det da en 1x3-vektor som vi kan kalle v. Da blir Tx = 0 ekvivalent med at vx = 0 for hver av de tre vektorene i M. Ut fra dette kan du se hva v må være. Eventuelt kan du se på systemet Av = 0, der A er matrisen med de tre vektorene i M som radvektorer, og løse dette for v. Slik har jeg i alle fall tenkt her.

[svinepels]

Foreleseren sa i dag at det holdt å vise at det holdt for et underrom av [tex]\ell_\infty[/tex] eller noe sånt.

Selv sitter jeg fremdeles med opg 2...

[Gustav]

4.
Annihilatoren er vel isomorf med delmengden i [tex]\mathbb{R}^3[/tex] av alle 3-vektorer y slik at [tex]\langle x,y\rangle =0[/tex] for alle x i M. (fra Riesz representasjonsteorem).

[Gustav]

2.a)

[tex]\mathcal{l}_2\subseteq \bar{\mathcal{l}_0}[/tex]:

Dersom [tex]z\in \mathcal{l}_2[/tex] kan vi konstruere en følge(av følger) [tex]\{z_n\}[/tex] i [tex]\mathcal{l}_0[/tex] der [tex]z_n[/tex] er en "trunkering" av z fra og med ledd n ([tex]z_n[/tex] fremkommer fra z ved å sette alle ledd i z fra og med n-te ledd til 0.). [tex]\{z_n\}[/tex] vil da konvergere mot z. Samtidig vil z være et akkumulasjonspunkt(limit point) til [tex]\mathcal{l}_0[/tex] og derfor være med i [tex]\bar{\mathcal{l}_0}[/tex].

[Gustav]

Det kritiske i denne oppgaven er at det skal være den samme konstante M'en som opptrer i ulikheten

[tex]||f^{\prime}|| \leq M ||f||[/tex]

for alle funksjoner f i rommet. Selv måtte jeg klø meg litt i hodet før jeg innså dette. Om jeg har tenkt riktig, er følgende da et eksempel på at vi ikke har med en begrenset transformasjon å gjøre:

For enhver n, definer [tex]f_n(x) = e^{nx}[/tex]. Anta at det eksisterer en M som i ulikheten over. Da har vi

[tex]||f_n^{\prime}|| = \sup_{x \in [0,1]}|ne^{nx}| = ne^n[/tex]
[tex]||f_n|| = \sup_{x \in [0,1]}|e^{nx}| = e^n[/tex]

Så følgende ulikhet må gjelde:

[tex]ne^n \leq Me^n[/tex]

som gir

[tex]n \leq M[/tex]

Men dette gjelder åpenbart ikke for n = M+1, altså har vi nådd en selvmotsigelse.

Dette ser meget bra ut vil jeg si.