Prøver å finne en partikulær løsning til [tex]x_n + x_{n-1} = \sqrt{n+1}[/tex].
Finner ikke helt ut av hvilken form jeg bør gjette at [tex]x_n^p[/tex] har.
Tips mottas med takk
Partikulærløsning for differenslikning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tror du må tenke litt annerledes her.
Vi har at
[tex]x_{n}=\sqrt{n+1}-x_{n-1}[/tex].
Altså er
[tex]x_1=\sqrt{2}-x_0[/tex]
[tex]x_2=\sqrt{3}-x_1=\sqrt{3}-\sqrt{2}+x_0[/tex]
[tex]x_3=\sqrt{4}-x_2=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-x_0[/tex]
Du kan utfra dette gjette på en løsning ved å finne mønsteret, og bruke induksjon til å bevise den.
Spoiler:
[tex]x_n=(-1)^n\left(x_0-\sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i\sqrt{i}\right)[/tex].
Vi har at
[tex]x_{n}=\sqrt{n+1}-x_{n-1}[/tex].
Altså er
[tex]x_1=\sqrt{2}-x_0[/tex]
[tex]x_2=\sqrt{3}-x_1=\sqrt{3}-\sqrt{2}+x_0[/tex]
[tex]x_3=\sqrt{4}-x_2=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-x_0[/tex]
Du kan utfra dette gjette på en løsning ved å finne mønsteret, og bruke induksjon til å bevise den.
Spoiler:
[tex]x_n=(-1)^n\left(x_0-\sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i\sqrt{i}\right)[/tex].