Riemann-integrerbar

[Mathida]

Sitter fast i en diskusjon her, hvor det skal avgjøres hvorvidt følgende setning er sann:

"Hvis f(x) er Riemann-integrerbar på intervallet [a,b] og hvis f(x) [symbol:ikke_lik] 0 for alle x som er i [a,b], så er funksjonen 1/f(x) Riemann-integrerbar på [a,b]."

Ideen her er å kunne bevise det hvis det er sant, eller å komme med et moteksempel om det ikke er sant.


Jeg har en definisjon som sier at en funksjon er Riemann-integrerbar på [a,b] hvis det for enhver "epsilon > 0" finnes en "delta > 0" slik at |sigma - L| < epsilon, for enhver Riemann-sigma tilknyttet enhver partisjon P hvor ||P|| < delta.

Videre tenker jeg at L = integralet fra a til b av 1/f(x)

og at sigma = [symbol:sum] j=1, n f(Cj)(Xj - Xj-1) = [symbol:sum] j=1, n f(Cj) deltaXj, Cj er i [Xj-1, Xj]

Men videre vet jeg ikke hvordan jeg skal klare å bruke dette til å bevise/motbevise? Om setningen er sann eller ikke? Eller om det jeg har tenkt ikke kan brukes i det hele tatt.. Kanskje er det noen her som vet

[Vektormannen]

Her tror jeg det vil være enklere å ta utgangspunkt i øvre og nedre trappesum. Mitt forslag er noe slikt som dette, men ta forbehold om at jeg kan ha oversett noe eller rett og slett tenkt feil :

Siden f er integrerbar vet du at for en hver [tex]\epsilon[/tex] finnes en partisjon P av [a,b] slik at [tex]U(f, P) - L(f,P) < \epsilon[/tex]. Da vet du mer spesifikt at [tex]\sum_{i=1}^n (f(u_i) - f(l_i))(x_i - x_{i-1}) < \epsilon[/tex].

Det vi må vise er at gitt en eller annen [tex]\epsilon[/tex] vi kan finne en partisjon P slik at [tex]U(1/f, P) - L(1/f, P) < \epsilon[/tex]. La oss ta akkurat samme partisjon som gjør at det ovenfor stemmer. For funksjonen 1/f vil valgene av u og l bare forandre rolle, siden en maks-verdi for f betyr en min-verdi for 1/f og en min-verdi for f er en maks-verdi for 1/f. Da er [tex]U(1/f, P) - L(1/f, P) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{f(l_i)} - \frac{1}{f(u_i)}\right) (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n \frac{f(u_i) - f(l_i)}{f(l_i) \cdot f(u_i)} (x_i - x_{i-1})[/tex].

Denne summen ligner mye på [tex]U(f, P) - L(f,P)[/tex]. Hvis du nå benytter at f er forskjellig fra 0 så vet du at [tex]|f(x)| \geq A[/tex]. Dette kan du, hvis jeg ikke tar feil, bruke til å komme i mål.