Differens/rekursjonsligning

[ambitiousnoob]

Hei!

Sitter og jobber med oppgaver ref. topic.

Trenger litt oppklaring i forbindelse med disse oppgavene for å forhåpentligvis få en bedre forståelse.

Eks:

[tex]a_{n}=3a_{n-1}+7[/tex]

Svaret på den homogene løsningen er [tex]C3^{n} [/tex]

Svaret på den partikulære er jeg forsåvidt fortrolig med å finne, men det jeg lurer på er hvorfor svaret på den homogene blir som det blir, hvorfor får vi plutselig en konstant ganger 3 i n`te? Hvis det f eks hadde vært [tex]3a_{n+1}[/tex] som hadde stått i oppgaven, hadde den homogene løsningen da blitt [tex]C3^{2n}[/tex] ?

[Vektormannen]

Den homogene ligningen er [tex]a_n = 3a_{n-1}[/tex]. Tenk deg at du har lyst til å finne hva [tex]a_n[/tex] er. Ligningen gir oss at [tex]a_1 = 3a_0[/tex]. Da kan vi finne [tex]a_2[/tex] ved at [tex]a_2 = 3a_1 = 3 \cdot 3a_0 = 3^2 a_0[/tex]. Da vil [tex]a_3 = 3^3 a_0[/tex], og så videre, ikke sant? Altså kan vi generelt si at [tex]a_n = C \cdot 3^n[/tex], der [tex]C = a_0[/tex].

Blir det da noe forskjellig om det står [tex]a_n = 3a_{n-1}[/tex] eller [tex]a_{n+1} = 3a_n[/tex]?

[ambitiousnoob]

Takk for et godt svar, nå ser jeg litt mer sammenhengen her ja!

Da skulle det vel ikke bli noe forskjell på om det står på ene eller andre måten nei..

Her må det øves videre

[ambitiousnoob]

Og der stod jeg fast igjen :p

Denne gangen er det den partikulære delen jeg ble usikker på hvordan de egentlig har løst..

Oppgaven:


[tex]a_{n}=3a_{n}+4n, n = 1,2,3... a_{0}=1[/tex]

Den homogene løsningen blir jo også her

[tex]C3^{n}[/tex]

Men når de har løst den partikulære, så har de gjort følgende, og jeg klarer ikke helt å se hvordan de kan gjøre det..:

[tex]a_{p}=An+B \Rightarrow A(n+1)+B=2(An+B)+4n \Rightarrow -An+A-B=4n \Rightarrow A=4,B=4[/tex]

Skjønner ikke helt hvorfor jeg ikke ser denne :/

[Razzy]

Hei!


Håper at du skrev av oppgaven feil og at det skulle vært:


[tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 4n\;\;\;\;n = 1,2,3$$[/tex]



Løsningsforslag:


[tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 4n\;\;\;\;n = 1,2,3$$[/tex]


Karakteristisk ligning:

[tex]$$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$$[/tex]


Homogene løsning:

[tex]$${a_h} = C{3^n}$$[/tex] *


Gjetter partikulær løsning:

[tex]$${a_p} = An + B$$[/tex] (p.g.a. h.s. i opprinnelig ligning **)


Setter forslaget inn i opprinnelig ligning:

[tex]$$An + B - 3\left( {A\left( {n - 1} \right) + B} \right) = 4n$$[/tex]


Samler alle n-ledd og konstand-ledd:

[tex]$$\left( {A - 3A} \right)n + \left( {B + 3A - 3B} \right) = 4n$$[/tex]

[tex]$$\left( { - 2A} \right)n + \left( {3A - 2B} \right) = 4n+0$$[/tex]


Får ut to ligninger jeg kan løse:

[tex]$${\rm I}.\;\; - 2A = 4 \Rightarrow A = - 2$$[/tex]

[tex]$${\rm I}{\rm I}.\;\;3{\rm A} - 2{\rm B} = 0 \Rightarrow B = - 3$$[/tex]


Partikulær løsning:

[tex]$${a_p} = - 2n - 3$$[/tex]


Foreløbige generelle løsning:

[tex]$${a_n} = {a_h} + {a_p}$$[/tex]

[tex]$${a_n} = C{3^n} - 2n - 3$$[/tex]


Nå kan vi bruke initialverdien [tex]a_0=1[/tex] og finne den siste konstanten C:

Setter inn i generell løsning:

[tex]$${a_0} = C{3^0} - 2 \cdot 0 - 3$$[/tex]

[tex]$${a_0} = C \cdot 1 - 3$$[/tex]

Setter inn kjent verdi for [tex]a_0[/tex]:

[tex]$$C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4$$[/tex]


Endelig generelle løsning blir:

[tex]$$\underline{\underline {{a_n} = 4 \cdot {3^n} - 2n - 3}} $$[/tex]


FASIT: http://www.wolframalpha.com/input/?i=a% ... 280%29%3D1 (kopier hele linken)

* & **:


Kilde: Formelsamlingen min

*: Gjaldt ikke i denne oppgaven, men veldig viktig å huske på da det kan føre til mye bortkasted tid på eksamen.


Håper jeg hadde riktig i begynnelsen av oppgaven at du skrev feil!

[ambitiousnoob]

Hei Rasmus!

Tusen takk for svaret! Dessverre er jeg redd oppgaven er riktig skrevet av..har du heftet til Amir? Dette er oppgave 6.3 e) på side 121

[Razzy]

Har også lagt ut en oppgave her som kan være nyttig hvis du får noe lignende en gang:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=33375


I tillegg vil ser du sikkert at på den første oppgaven du spurte om:

[tex]$${a_n} = 3{a_{n - 1}} + 7$$[/tex]

Eller: [tex]$${a_n} - 3{a_{n - 1}} = 7$$[/tex]


Karakteristisk ligning:

[tex]$$\lambda - 3 \Rightarrow \lambda = 3$$[/tex]


Homogene løsning:

[tex]$${a_h} = C{3^n}$$[/tex]


Her bruker jeg også formelarket rett ut.