Skivemetoden

[Mirton]

Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til funksjonen y = f(x) = [tex]$\sqrt{x-1}$[/tex] og linjen x = 10. Flatestykket dreies en gang om linja x = 1
Bestem volumet av omdreiningslegemet ved å bruke skivemetoden.


Siden jeg skal rotere om en vertikal linje må jeg vel uttrykke y = f(x) = [tex]$\sqrt{x-1}$[/tex] som
[tex]$x={{y}^{2}}+1$[/tex] ?

Finner jeg da grensene jeg skal bruke ved å sette x = 1 og x = 10 i [tex]$x={{y}^{2}}+1$[/tex]

TEnker jeg rett?

[Vektormannen]

Det stemmer at vi får [tex]x = y^2 + 1[/tex]. Tegn en skisse (hvis du ikke har det). Er du enig i at den figuren vi skal finne volumet av ikke kan uttrykkes direkte ved hjelp av skivemetoden? Skivemetoden forutsetter jo at det ikke er "tomt" mellom aksen vi roterer rundt og omdreiningslegemet. Men det vi kan gjøre er å finne volumet av den delen som er mellom, og så kan vi trekke det volumet fra volumet til sylinderen med radius 9 rundt x = 1.

Hva blir radius i hver slik skive? Hvilke grenser må y ha i integralet vi får?

[Mirton]

Radiusen til skivene til området vi skal trekke fra blir da [tex]$\left({{y}^{2}}+1 \right)-1 = {{y}^{2}}$[/tex]

Grensene blir:
[tex]x=0\Rightarrow 0={{y}^{2}}+1\Rightarrow y=0[/tex] og når [tex]x=9\Rightarrow 9={{y}^{2}}+1\Rightarrow y=\pm \sqrt{8}[/tex]
Men i vårt tilfelle så blir det [tex]$+\sqrt{8}$[/tex]
?

[Vektormannen]

Radiusen stemmer. Men måten du finner grensene på er ikke helt riktig. Husk at nedre grense er x = 1 og øvre er x = 10. Da får vi at y er mellom 0 og 3.

Nå har du funnet det du trenger for å sette opp volumintegralet. Hva blir volumet av sylinderen som du må trekke det volumet fra?

[Mirton]

Grensene blir:
[tex]x=1\Rightarrow 1={{y}^{2}}+1\Rightarrow y=0[/tex] og når [tex]x=10\Rightarrow 10={{y}^{2}}+1\Rightarrow y=\pm \sqrt{9} = 3[/tex]

og Volumet til sylinderen vi må trekke fra blir da [tex]\pi \underset{1}{\overset{10}{\int }}\,{{(10-1)}^{2}}\text{d}y [/tex] ?

[Vektormannen]

Det er ikke helt riktig. Sylinderen har grunnflate [tex]\pi \cdot 9^2[/tex]. Ganger vi med høyden -- som du nå har funnet ut at er 3 (y går jo fra 0 til 3), så får vi at volumet av sylinderen [tex]\pi 9^2 \cdot 3[/tex]. Er du med på det? Det er ikke nødvendig å integrere, og hvis vi gjør det så må y i såfall gå fra 0 til 3 (det var kanskje det du mente?)

[Mirton]

Ja, naturligvis. Vet at man ikke må integrere, bare prøvde å sette det opp som integral. Ser at grensene seff må være fra 0 - 3.
Klarer å visualisere hvordan det fungerer nå. Alt ble brått mer logisk. Slet litt med å se hvordan det hang sammen istad.

Takk for hjelpen

[Vektormannen]

Flott

Forresten, i tittelen skriver du "sylindermetoden", mens i det første inlegget sier du skivemetoden. Hvilken var det du egentlig mente? Her vil sylindermetoden også være mulig å bruke, og med den kan du regne volumet direkte uten å trekke fra volumet av sylinderen.

[Mirton]

Flott

Forresten, i tittelen skriver du "sylindermetoden", mens i det første inlegget sier du skivemetoden. Hvilken var det du egentlig mente? Her vil sylindermetoden også være mulig å bruke, og med den kan du regne volumet direkte uten å trekke fra volumet av sylinderen.

Haha, vært en lang dag. Rettet på nå
Skal forsøke på samme oppgave med sylindermetoden i morgen.
Jeg måtte undersøke hva de norske betegnelsene var. Satt her og leste om Cylindrical Shells og Disk/Washers, rota når jeg oversatte