Finne og klassifisere stasjonære pkt

[ambitiousnoob]

Sitter med flervariabelfunksjonen:

[tex]f(x,y)=x^{3}-3x^{2}- \frac {3}{2} xy^{2}+y^{3}[/tex]

Har funnet de første og andre ordens deriverte:

[tex]f_{x}=3x^{2}-6x- \frac{3}{2}y^{2}[/tex]

[tex]f_{xx}=6x-6[/tex]

[tex]f_{xy}=-3y[/tex]

[tex]f_{y}=3y^{2}-3xy[/tex]

[tex]f_{yy}=6y-3[/tex]

Så skal jeg, som overskriften sier, finne og klassifisere stasjonære punkt.

Da har man jo alternativ minimums-, maksimums- eller sadelpunkt.

I læreboken min ser det ut til at å bruke en 2. derivert test som benytter determinanten til Hessematrisen er en grei fremgangsmåte.

Det jeg lurer på er, hvilke verdier er det man skal putte inn i determinanten, man skal jo avgjøre om denne gir

[tex]f_{xx}>0[/tex]
[tex]f_{xx}<0[/tex]
[tex]f_{xx}=0[/tex]

Løser man ligningssett for å finne verdier for fxx og fyy for så å putte disse inn?

[Vektormannen]

Ja, hvis jeg tolker deg rett. Du må først finne de stasjonære punktene, og så kan du bruke andrederiverttesten til å klassifisere dem. Stasjonære punkter har vi når de deriverte er 0 samtidig. Du må altså finne de punktene (x,y) som løser [tex]f_x(x,y) = 0[/tex] og [tex]f_y(x,y) = 0[/tex], og så finner du de tilhørende verdiene for de dobbeltderiverte og finner determinanten av Hessematrisen.

[ambitiousnoob]

Tusen takk for svar, da skal jeg prøve det!:)

[Razzy]

Stasjonære punkt (setter disse lik null:

(a) [tex]$${f_x} = 0$$[/tex]

(b) [tex]$${f_y} = 0$$[/tex]


Altså vi har to ligninger:

(a) [tex]$$3{x^2} - 6x - {3 \over 2}{y^2} = 0$$[/tex]

(b) [tex]$$3{y^2} - 3xy = 0$$[/tex]


Bruker innsettingsmetoden og velger å se på linging b:

[tex]$$3{y^2} - 3xy = 0$$[/tex]

[tex]$$3y\left( { - x + y} \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$y = 0,\;y = x$$[/tex]


Dette setter vi inn i ligning a for å få ut x-er og y-er:


Først setter jeg inn [tex]y=0[/tex]:

[tex]$$3{x^2} - 6x = 0$$[/tex] (leddet forsvant)

[tex]$$3x\left( {x - 2} \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$x = 0,\;x = 2$$[/tex]


Dette gir oss følgende stasjonære punkt:

[tex]$$\underline{\underline {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {2,0} \right)}} $$[/tex]


Så gjør jeg det samme for [tex]y=x[/tex]:

[tex]$$3{x^2} - 6x - {3 \over 2}{x^2} = 0$$[/tex] (her valgte jeg å sette inn x for y, kunne like gjerne satt inn y for x)

[tex]$$3x\left( {{1 \over 2}x - 2} \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$x = 0,\;x = 4$$[/tex]


Her er jo [tex]y=x[/tex] og vi får derfor: [tex]$$\underline {\underline {\left( {0,0} \right)\;,\;\left( {4,4} \right)} } $$[/tex]

[Razzy]

Klassifisering av punktene:

Nå trenger vi å regne ut [tex]$${f_{xx}},{f_{yy}},{f_{xy}},{f_{yx}}$$[/tex]:

[tex]$${f_{xx}} \;= 6x - 6$$[/tex]

[tex]$${f_{yy}} = - 3x + 6y$$[/tex]

[tex]$${f_{xy}} = {f_{yx}} = - 3y$$[/tex] (dette er visst ingen tilfeldighet og du vil oppleve at det ofte om ikke "nesten alltid" er slik. Jeg vet ikke hvorfor)


Nå er vi klare til å sette opp hessematrisa:

[tex]$$H\left( {x,y} \right) = \left[ {\matrix{{{f_{xx}}} & {{f_{xy}}} \cr {{f_{yx}}} & {{f_{yy}}} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{6x - 6} & { - 3y} \cr { - 3y} & { - 3x + 6y} \cr } } \right]$$[/tex]

Har du denne på formelsamlingen din?



Nå er vi endelig klare. Vi begynner med å sjekke hva slags punkt [tex](0,0)[/tex] er:

Det første vi gjør er å sette inn i hessematrisa:

[tex]$$H\left( {0,0} \right) = \left[ {\matrix{{6 \cdot 0 - 6} & { - 3 \cdot 0} \cr { - 3 \cdot 0} & { - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right]$$[/tex]



Nå sette vi opp det karakteristiske polynom dvs. vi regner ut:

[tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]

Her er [tex]H= \left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right], \; \lambda \; ukjent, I = \left[ {\matrix{{ 1} & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right][/tex] og husk at rette streker betyr det samme som det(H-lambdaI)

Vi kjører på:

[tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]

[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right] - \lambda \left[ {\matrix{1 & 0 \cr 0 & 1 \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]

Mellomregning som du kan hoppe over når du blir mer vandt:

[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6} & 0 \cr 0 & 0 \cr } } \right] - \left[ {\matrix{\lambda & 0 \cr 0 & \lambda \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]

og denne

[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ - 6 - \lambda } & 0 \cr 0 & {0 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]

Så er det bare å gange gange ut determinanten her:

[tex]$$\left( { - 6 - \lambda } \right)\left( {0 - \lambda } \right) - 0 = 0$$[/tex]

Får en såkalt karakteristisk ligning:

[tex]$${\lambda ^2} - 6\lambda = 0$$[/tex]

[tex]$$\lambda \left( {\lambda - 6} \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$\lambda = 0,\;\lambda = 6$$[/tex]

Løsningene er altså det som oppfyller [tex]$$\left| {H - \lambda I} \right| = 0$$[/tex]


Vi bruker følgende regler (disse lærer du deg utenatt):

[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex] da har vi et lokalt minimums punkt

[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx < 0[/tex] da har vi et lokalt maksimums punkt

[tex]D < 0[/tex] har vi et sadelpunkt

[tex]D = 0[/tex] gir ingen konklusjon


DETTE ER FEIL... I vårt tilfelle har vi [tex]\lambda = 0[/tex] som gir ingen konklusjon og [tex]\lambda = 6[/tex] som faller under [tex]D>0[/tex].

Da sjekker vi om det er et maks eller min punkt ved å sette inn i [tex]$${f_{xx}}$$[/tex]:

[tex]$${f_{xx}}\left( 6 \right) = 6 \cdot 6 - 6 = 30$$[/tex] dette er større enn null og dermed er det et lokalt minimums punkt!


MERK: Når vi får en egenverdi lik null så er svaret at vi ikke kan klassifiere punktet.

[Razzy]

Ok, nå gjenstår det å sjekke punktene [tex](2,0) \; , \; (4,4)[/tex]. Med å sjekke mener jeg å finne ut hva slags punkt de er.


Vi har satt opp hessematrisen: [tex]$$H\left( {x,y} \right) = \left[ {\matrix{{6x - 6} & { - 3y} \cr { - 3y} & { - 3x + 6y} \cr } } \right]$$[/tex]


Velger å se sjekke [tex](2,0)[/tex] først:

[tex]$$H\left( {2,0} \right) = \left[ {\matrix{{ 6} & 0 \cr 0 & -18 \cr } } \right]$$[/tex]


[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ 6 - \lambda } & 0 \cr 0 & {-18 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]


[tex]$$\left( { 6 - \lambda } \right)\left( {-18 - \lambda } \right) - 0 = 0$$[/tex]


[tex]$${\lambda ^2} + 12\lambda -108 = 0$$[/tex]


[tex]$$\lambda = {{ - 12 \pm \sqrt {{{\left( {12} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 108} \right)} } \over {2 \cdot 1}} = {{ - 12 \pm 24} \over 2} = - 6 \pm 12 = \left\{ {\matrix{{{\lambda _1} = 6} \cr {{\lambda _2} = - 18} \cr } } \right.$$[/tex]


Vi bruker følgende regler (disse lærer du deg utenatt):

[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex] da har vi et lokalt minimums punkt

[tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx < 0[/tex] da har vi et lokalt maksimums punkt

[tex]D < 0[/tex] har vi et sadelpunkt

[tex]D = 0[/tex] gir ingen konklusjon


Konklusjon: Punktet [tex](2,0)[/tex] er et sadelpunkt da en av løsningene for determinanten er mindre enn null: [tex]D < 0[/tex].




[tex]$$H\left( {4,4} \right) = \left[ {\matrix{{ 18} & -12 \cr -12 & 12 \cr } } \right]$$[/tex]


[tex]$$\left| {\left[ {\matrix{{ 18 - \lambda } & -12 \cr -12 & {12 - \lambda } \cr } } \right]} \right| = 0$$[/tex]


[tex]$$\left( { 18 - \lambda } \right)\left( {12 - \lambda } \right) - 144 = 0$$[/tex]


[tex]$${\lambda ^2} -30\lambda +216-144 = 0$$[/tex]

[tex]$${\lambda ^2} -30\lambda +72 = 0$$[/tex]


[tex]$$\lambda = {{ 30 \pm \sqrt {{{\left( {-30} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { 72} \right)} } \over {2 \cdot 1}} = {{ 30 \pm 6\sqrt {17}} \over 2} = 15 \pm 3 = \left\{ {\matrix{{{\lambda _1} = 18} \cr {{\lambda _2} = 12} \cr } } \right.$$[/tex]


Konklusjon: Punktet [tex](4,4)[/tex] er et lokalt minimumspunkt da begge løsningene er positive dvs. [tex]D > 0[/tex] og [tex]fxx > 0[/tex].