Kontinuitet m epsilon-delta

[mstud]

Har en oppgave her som lyder slik:

La [tex]a<b<c[/tex] og anta at [tex]f(x)\leq g(x)[/tex] for [tex]a\leq x\leq c[/tex]. Dersom [tex]lim_{x\to b} f(x)=L[/tex] og [tex]lim_{x\to b} g(x)=M[/tex], bevis at [tex]L\leq M[/tex]. Hint: Anta at L>M og deduser at f(x)>g(x) for alle x som ligger tilstrekkelig nært b. Dette strider mot betingelsen om at [tex]f(x)\leq g(x)[/tex] for [tex]a\leq x\leq b[/tex].

Har kjørt meg litt fast her...

Mitt forsøk på løsning:

La [tex]a<b<c[/tex]. Anta [tex]f(x)\leq g(x)[/tex] for [tex]a\leq x\leq c[/tex]. La [tex]lim_{x\to b} f(x)=L[/tex] og [tex]lim_{x\to b} g(x)=M[/tex]. Da er [tex]lim {x \to b} (f(x)-g(x))=L-M[/tex]. Må da finne en delta slik at [tex]0<|x-b|<\delta \Rightarrow 0<|(f(x)-L)-(g(x)-M)|<\epsilon[/tex]. Så må jeg på ett eller annet vis prøve å vise at L-M>0 gir en "selvmotsigelse" ? Kunne jeg fått litt hjelp på veien?

[Vektormannen]

Du trenger ikke å finnoe noen delta, vi vet jo at de to grensene eksisterer. Det betyr per definisjon at for en hver epsilon så finnes en slik delta. Det du kan gjøre her for å få frem selvmotsigelsen er å velge en "lur" [tex]\epsilon[/tex]-verdi. Du har ulikheten

[tex]|f(x) - g(x) - (L-M)| < \epsilon \ \Leftrightarrow \ L-M - \epsilon < f(x) - g(x) < L-M + \epsilon[/tex].

Hvis du kan få venstre side av ulikheten til å bli positiv så er du i mål, ikke sant? Kan du få til det?

(Dette kan sikkert bevises på flere måter, men dette var det første jeg kom på i alle fall.)

[mstud]

Du trenger ikke å finnoe noen delta, vi vet jo at de to grensene eksisterer. Det betyr per definisjon at for en hver epsilon så finnes en slik delta. Det du kan gjøre her for å få frem selvmotsigelsen er å velge en "lur" [tex]\epsilon[/tex]-verdi. Du har ulikheten

[tex]|f(x) - g(x) - (L-M)| < \epsilon \ \Leftrightarrow \ L-M - \epsilon < f(x) - g(x) < L-M + \epsilon[/tex].

Hvis du kan få venstre side av ulikheten til å bli positiv så er du i mål, ikke sant? Kan du få til det?

(Dette kan sikkert bevises på flere måter, men dette var det første jeg kom på i alle fall.)

Venstre side positiv: [tex]L-M-\epsilon\geq 0 \Leftrightarrow L-M\geq \epsilon[/tex] , men er det det du sikter til?

[Vektormannen]

Ja, var det jeg tenkte på. Er resten greit da?

[mstud]

Det er ikke sikkert, for oppgaven ba meg om å vise at [tex]L\leq M[/tex].

Jeg får derimot bare:
[tex]L-M-\epsilon\geq 0 \Leftrightarrow L-M\geq \epsilon \Rightarrow L-\epsilon\qeg M \Rightarrow L\qeg M+\epsilon \Rightarrow L\geq L-\epsilon\geq M \Rightarrow L\geq M[/tex]. ...

[Vektormannen]

Husk at vi har at [tex]L - M - \epsilon < f(x) - g(x)[/tex], altså streng ulikhet. Det vil si at hvis vi velger en [tex]\epsilon[/tex] som er mindre eller lik [tex]L -M[/tex] så vil vi jo da ha (siden vi vet grensene eksisterer) at det eksisterer en eller annen [tex]\delta[/tex] slik at [tex]0 < |x-b| < \delta \ \Rightarrow \ 0 \leq L -M - \epsilon < f(x) - g(x)[/tex], og da har vi motsigelsen [tex]f(x) > g(x)[/tex]. Kan være jeg har oversett noe, men jeg tror da dette skal stemme?

[mstud]

Husk at vi har at [tex]L - M - \epsilon < f(x) - g(x)[/tex], altså streng ulikhet. Det vil si at hvis vi velger en [tex]\epsilon[/tex] som er mindre eller lik [tex]L -M[/tex] så vil vi jo da ha (siden vi vet grensene eksisterer) at det eksisterer en eller annen [tex]\delta[/tex] slik at [tex]0 < |x-b| < \delta \ \Rightarrow \ 0 \leq L -M - \epsilon < f(x) - g(x)[/tex], og da har vi motsigelsen [tex]f(x) > g(x)[/tex]. Kan være jeg har oversett noe, men jeg tror da dette skal stemme?

Jo, det ser ut for at det stemmer...

Takk for hjelpen!