Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Har i oppgave å vise [tex]f(x)=|x| \ kontinuerlig \ \forall x\in \mathbb{R}[/tex].
Boken har kun vist eksempler på bevis for kontinuitet på lukkede intervaller, eller kontinuitet i punkt, derfor ser jeg ikke helt hvordan jeg skal gå i gang med dette?
Mitt forsøk på løsning:
Gitt [tex]\epsilon >0[/tex]. ...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Strengt talt må en og vise at summen av to kontinuerlige funksjoner, som har et felles punkt er kontinuerlig. Men cruxet i oppgaven er som nevnt å studere hva som skjer i origo.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Deriverbarhet er definert enten i et punkt eller på en åpen delmengde. Så f(x)=1/x er deriverbar på [tex]\mathbb{R}\setminus \{0\} [/tex]. Samme for f(x)=abs(x). De er ikke deriverbare i x=0.
For å avgjøre deriverbarhet må man bruke grensedefinisjonen av den deriverte. Da er en funksjon deriverbar i et punkt x dersom grensen [tex]\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex] eksisterer.
Sier vi at en funksjon er deriverbar mener vi egentlig at funksjonen
er deriverbar på [tex]\mathbb{R}[/tex], altså deriverbar for alle reelle verdier. Dermed vil vi si at 1/x og abs(x) ikke er deriverbarbare funksjoner, som nevnt tidligere.
At en funksjon er kontinuerlig har dog fint lite med at den er deriverbar.
Det er fullt mulig å konstruere funksjoner som er kontinuerlige overalt, men ikke deriverbare noen steder. For patologisk eksempel Wierstrass funksjonen (Som nettopp var konstruert for dette formålet)