Fransk matteoppgave exponentialfunksjon 1 reell rot

[franskmatte]

Bonjour

Jeg skulle gjerne faatt litt hjelp til aa forstaa denne oppgaven, vi laerte pa skolen i dag.

a) Vis at ligningen [tex]xe^x=3[/tex] har én eneste reell rot innenfor [0;3]. (ikke regne ut denne roten)

Loesning: Vi setter: [tex]f(x)=xe^x[/tex]
[tex]f*(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)[/tex]

Saa setter vi en variasjonstavle: med at den deriverte a f(x) er positiv mellom 1 og 3. Vi setter
[tex]f(0)=0<3[/tex] og [tex]f(3)=3e^3>3[/tex]

Etter "Théoreme des valeurs intermediaires" paa engelsk: The intermediate value theorem, kan vi konkludere at det kun er 1 loesning paa [tex]f(x)=3[/tex] i intervallet [tex][0;3][/tex]

b) Vis at funksjonen:[tex] f(x)=x^n+ax+b[/tex] ikke kan ha fler enn 2 reelle roetter hvis [tex]n[/tex] er partall, og ikke mer enn 3 roetter hvis [tex]n[/tex] er oddetall.

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a[/tex]
f'(x)=0
[tex]=nx^{n-1}+a=0[/tex]
[tex]=nx^{n-1}=\frac{a}{n}[/tex]

n er partall, da er n-1 oddetall.
f' har en rot [tex]x_{0}=(-\frac{a}{n})^{\frac{1}{n}-1}[/tex]
[tex]x^3=-1[/tex]
f' skifter tegn 1 gang.

Det jeg trenger hjelp til her er logikken. Jeg kan utregningnen, men ikke grunnen til hva som er gjort. Har proevd aa oversette dette saa godt som mulig og skirve det saa ryddig som mulig. Saa haaper noen kunne tenke seg aa forklare meg trinn for trinn
Ha en fin kveld, snakkes fort

[mstud]

Legger inn noen kommentarer til løsningen:

Bonjour

Jeg skulle gjerne faatt litt hjelp til aa forstaa denne oppgaven, vi laerte pa skolen i dag.

a) Vis at ligningen [tex]xe^x=3[/tex] har én eneste reell rot innenfor [0;3]. (ikke regne ut denne roten)

Loesning: Vi setter: [tex]f(x)=xe^x[/tex] Ved å velge f(x) lik leddet som inneholder x, vil vi kunne vise eller motbevise at dette blir lik 3 på et eller annet sted for x mellom 0 og 3.
[tex]f*(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)[/tex] Deriverer for å finne om den deriverte eralltid positiv mellom 0 og 3, alltid negativ mellom 0 og 3, eller om den er positiv i deler av området og negativ i andre deler av området. Dersom fortegnet til den deriverte veksler, kan ligningen ha mer enn en rot mellom 0 og 3.

Saa setter vi en variasjonstavle: med at den deriverte av f(x) er positiv mellom 1 og 3. Vi setter
[tex]f(0)=0<3[/tex] og [tex]f(3)=3e^3>3[/tex] Skal det ikke være at den deriverte er positiv mellom 0 og 3? det vil si: [tex]f^\prime(x)\geq 0[/tex] for x melom 0 og 3. Her må vi vise at den ene funksjonsverdien, her f(3), er større enn 3 og den andre, her f(0), mindre enn tre for å kunne rettferdiggjøre at vi kan bruke Intermediate value theorem på den.

Når den deriverte er positiv mellom 1 og 3, vil det si at ligningen kan ha maksimalt en løsning, altså enten en løsning, eller ingen løsninger. I dette tilfellet ville man ha fått ingen løsninger dersom enten både f(0) og f(3) var mindre enn 3, eller begge funksjonsverdiene var større enn tre.

Etter "Théoreme des valeurs intermediaires" paa engelsk: The intermediate value theorem, kan vi konkludere at det kun er 1 loesning paa [tex]f(x)=3[/tex] i intervallet [tex][0;3][/tex] Dette er akkurat det selve teoremet sier. Hovedsaken med slike oppgaver er å vise at at forutsetningene for at man kan bruke IVT (Intermediate value theorem) er oppfylt, og deretter skrive opp riktig konklusjon fra teoremet.

b) Vis at funksjonen:[tex] f(x)=x^n+ax+b[/tex] ikke kan ha fler enn 2 reelle roetter hvis [tex]n[/tex] er partall, og ikke mer enn 3 roetter hvis [tex]n[/tex] er oddetall.

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a[/tex]
f'(x)=0
[tex]=nx^{n-1}+a=0[/tex]
[tex]=nx^{n-1}=\frac{a}{n}[/tex]

n er partall, da er n-1 oddetall.
f' har en rot [tex]x_{0}=(-\frac{a}{n})^{\frac{1}{n}-1}[/tex]
[tex]x^3=-1[/tex]
f' skifter tegn 1 gang.

b) ville jeg ha gjort litt annerledes:

Vis at funksjonen:[tex] f(x)=x^n+ax+b[/tex] ikke kan ha fler enn 2 reelle roetter hvis [tex]n[/tex] er partall, og ikke mer enn 3 roetter hvis [tex]n[/tex] er oddetall.

n=k er partall, n=k+1 (eller n=k-1) er oddetall.

Partall:

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex], altså [tex]=x^k+ak+b=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a=kx^{k-1}[/tex]
f'(x)=0
[tex]=kx^{k-1}+a=0[/tex] det gir:

[tex]=kx^{k-1}=-a \\ x^{k-1}=-\frac {a}{k}[/tex]

[tex]x_0=(-\frac {a}{k})^\frac 1{k-1}[/tex]. Denne har en løsning uansett verdier av a og k, man får reell løsning ved å ta oddetallsrot av et hvilket som helst reellt tall.

Da har f'(x) én løsning når n er partall, og f(x) skifter fortegn en gang, da kan f(x) maksimalt krysse samme linje (her f(x)=0) 2 ganger.


Oddetall:

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex], altså [tex]=x^{k+1}+a(k+1)+b=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a=(k+1)x^{k}+a[/tex]
f'(x)=0
[tex]=(k+1)x^{k}+a=0[/tex] det gir:

[tex]=(k+1)x^{k}=-a \\ x^{k}=-\frac {a}{k+1}[/tex].

Av regel for å finne kvadratrøtter, kubikrøtter og n-te røtter får man da:

[tex]x=\pm (-\frac {a}{k+1})^{\frac 1{k}}[/tex]. Dersom a og k har ulike fortegn, vil dette uttrykket for f'(x) altså ha to reelle løsninger, men dersom fortegnene for de to (a og k) er like, har uttrykket ingen løsning, ettersom man ikke kan ta partalls-rot av et negativt tall.

Altså kan f(x) ha maksimalt tre reelle løsninger når n er oddetall, krysse en horisontal linje (her f(x)=0) maksimalt 3 ganger dersom f'(x) har 2 løsninger. (I tilfellet hvor f'(x) har ingen løsning, kan f(x) maksimalt ha én løsning)


Det jeg trenger hjelp til her er logikken. Jeg kan utregningnen, men ikke grunnen til hva som er gjort. Har proevd aa oversette dette saa godt som mulig og skirve det saa ryddig som mulig. Saa haaper noen kunne tenke seg aa forklare meg trinn for trinn
Ha en fin kveld, snakkes fort

Håper noe av dette kunne være litt til hjelp Bare spør hvis det er noe som fortsatt er uklart

[franskmatte]

Legger inn noen kommentarer til løsningen:

Bonjour

Jeg skulle gjerne faatt litt hjelp til aa forstaa denne oppgaven, vi laerte pa skolen i dag.

a) Vis at ligningen [tex]xe^x=3[/tex] har én eneste reell rot innenfor [0;3]. (ikke regne ut denne roten)

Loesning: Vi setter: [tex]f(x)=xe^x[/tex] Ved å velge f(x) lik leddet som inneholder x, vil vi kunne vise eller motbevise at dette blir lik 3 på et eller annet sted for x mellom 0 og 3.
[tex]f*(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)[/tex] Deriverer for å finne om den deriverte eralltid positiv mellom 0 og 3, alltid negativ mellom 0 og 3, eller om den er positiv i deler av området og negativ i andre deler av området. Dersom fortegnet til den deriverte veksler, kan ligningen ha mer enn en rot mellom 0 og 3.

Saa setter vi en variasjonstavle: med at den deriverte av f(x) er positiv mellom 1 og 3. Vi setter
[tex]f(0)=0<3[/tex] og [tex]f(3)=3e^3>3[/tex] Skal det ikke være at den deriverte er positiv mellom 0 og 3? det vil si: [tex]f^\prime(x)\geq 0[/tex] for x melom 0 og 3. Her må vi vise at den ene funksjonsverdien, her f(3), er større enn 3 og den andre, her f(0), mindre enn tre for å kunne rettferdiggjøre at vi kan bruke Intermediate value theorem på den.

Når den deriverte er positiv mellom 1 og 3, vil det si at ligningen kan ha maksimalt en løsning, altså enten en løsning, eller ingen løsninger. I dette tilfellet ville man ha fått ingen løsninger dersom enten både f(0) og f(3) var mindre enn 3, eller begge funksjonsverdiene var større enn tre.

Etter "Théoreme des valeurs intermediaires" paa engelsk: The intermediate value theorem, kan vi konkludere at det kun er 1 loesning paa [tex]f(x)=3[/tex] i intervallet [tex][0;3][/tex] Dette er akkurat det selve teoremet sier. Hovedsaken med slike oppgaver er å vise at at forutsetningene for at man kan bruke IVT (Intermediate value theorem) er oppfylt, og deretter skrive opp riktig konklusjon fra teoremet.

b) Vis at funksjonen:[tex] f(x)=x^n+ax+b[/tex] ikke kan ha fler enn 2 reelle roetter hvis [tex]n[/tex] er partall, og ikke mer enn 3 roetter hvis [tex]n[/tex] er oddetall.

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a[/tex]
f'(x)=0
[tex]=nx^{n-1}+a=0[/tex]
[tex]=nx^{n-1}=\frac{a}{n}[/tex]

n er partall, da er n-1 oddetall.
f' har en rot [tex]x_{0}=(-\frac{a}{n})^{\frac{1}{n}-1}[/tex]
[tex]x^3=-1[/tex]
f' skifter tegn 1 gang.

b) ville jeg ha gjort litt annerledes:

Vis at funksjonen:[tex] f(x)=x^n+ax+b[/tex] ikke kan ha fler enn 2 reelle roetter hvis [tex]n[/tex] er partall, og ikke mer enn 3 roetter hvis [tex]n[/tex] er oddetall.

n=k er partall, n=k+1 (eller n=k-1) er oddetall.

Partall:

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex], altså [tex]=x^k+ak+b=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a=kx^{k-1}[/tex]
f'(x)=0
[tex]=kx^{k-1}+a=0[/tex] det gir:

[tex]=kx^{k-1}=-a \\ x^{k-1}=-\frac {a}{k}[/tex]

[tex]x_0=(-\frac {a}{k})^\frac 1{k-1}[/tex]. Denne har en løsning uansett verdier av a og k, man får reell løsning ved å ta oddetallsrot av et hvilket som helst reellt tall.

Da har f'(x) én løsning når n er partall, og f(x) skifter fortegn en gang, da kan f(x) maksimalt krysse samme linje (her f(x)=0) 2 ganger.


Oddetall:

Vi finner roettene ved aa sette [tex]f(x)=0[/tex], altså [tex]=x^{k+1}+a(k+1)+b=0[/tex]
f'(x)[tex]=nx^{n-1}+a=(k+1)x^{k}+a[/tex]
f'(x)=0
[tex]=(k+1)x^{k}+a=0[/tex] det gir:

[tex]=(k+1)x^{k}=-a \\ x^{k}=-\frac {a}{k+1}[/tex].

Av regel for å finne kvadratrøtter, kubikrøtter og n-te røtter får man da:

[tex]x=\pm (-\frac {a}{k+1})^{\frac 1{k}}[/tex]. Dersom a og k har ulike fortegn, vil dette uttrykket for f'(x) altså ha to reelle løsninger, men dersom fortegnene for de to (a og k) er like, har uttrykket ingen løsning, ettersom man ikke kan ta partalls-rot av et negativt tall.

Altså kan f(x) ha maksimalt tre reelle løsninger når n er oddetall, krysse en horisontal linje (her f(x)=0) maksimalt 3 ganger dersom f'(x) har 2 løsninger. (I tilfellet hvor f'(x) har ingen løsning, kan f(x) maksimalt ha én løsning)


Det jeg trenger hjelp til her er logikken. Jeg kan utregningnen, men ikke grunnen til hva som er gjort. Har proevd aa oversette dette saa godt som mulig og skirve det saa ryddig som mulig. Saa haaper noen kunne tenke seg aa forklare meg trinn for trinn
Ha en fin kveld, snakkes fort

Håper noe av dette kunne være litt til hjelp Bare spør hvis det er noe som fortsatt er uklart

Tusen hjertelig takk, det var akkurat slik som du gjorde som kunne hjelpe meg! Endelig forstod jeg det:)