dan skrev:Hei!
Jeg klør meg i hodet over denne oppgaven.
Vis at (a*cos(t), b*sin(t)) er ellipsen som oppfyller 1 = (x^2)/a + (y^2) / b.
Jeg skulle gjerne ha vist hva jeg har forsøkt så langt, men det har bare vært å klø meg i hodet og lite annet, dessverre.
Jeg er usikker på hvordan jeg kan vise at de er like. Er det mulig å vise at de oppfører seg på samme måte (via for eksempel implisitt derivasjon)?
Jeg hadde satt stor pris på all hjelp! Takk :)
Som Janhaa sier skal a og b være opphøyd i 2 i ligningen for ellipsen.
For å vise at alle koordinater på formen [tex](a\cos(t), b\sin(t))[/tex] beskriver en ellipse, la først
[tex]f(t) = (a\cos(t), b\sin(t))[/tex] med [tex]t\in [0,2\pi)=U[/tex].
Altså er [tex]f[/tex] en funksjon fra [tex][0,2\pi)[/tex] inn i [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
La V være delmengden av [tex]\mathbb{R}^2[/tex] bestående av alle par (x,y) som tilfredsstiller ellipseligningen.
Det vi nå må vise er at f(U)=V. (bildet av intervallet U under funksjonen f er lik ellipsen)
Måten å vise at to mengder er like på:
1. [tex]f(U)\subseteq V[/tex]
2. [tex]V\subseteq f(U)[/tex].
1. La [tex]z\in f(U)[/tex]. Da fins det en t i U slik at [tex]z=(a\cos(t), b\sin(t))[/tex], og vi ser kjapt at z tilfredsstiller ellipseligningen.
2. La [tex]z=(x,y)\in V[/tex]. Da tilfredsstiller x og y ellipseligningen. Du må da vise at det fins en t i U slik at [tex](x,y)=(a\cos(t), b\sin(t))[/tex].
Vi vet at [tex]a\cos(t)[/tex] tar alle verdier mellom -a og a, Ser vi på ellipseligningen er begge leddene på høyresida mellom 0 og 1, og [tex]\frac{x}{a}[/tex] er da mellom -1 og 1. Altså må det eksistere en t slik at [tex]x=a\cos(t)[/tex]. Fra ellipseligningen får vi ved å bruke litt trigonometri at [tex]y=\pm b\sin(t)[/tex]. For tilfellet [tex]y=-b\sin(t)[/tex] kan vi absorbere det negative fortegnet inn i sin(t) og la [tex]t\to -t[/tex].
I siste linje har jeg brukt at [tex]\cos(-t)=\cos(t)[/tex] og [tex]\sin(-t)=-\sin(t)[/tex]
