Løse integral ved bruk av identitet

[Integralen]

Oppgave 9.4.19

b)

Bruk identiteten [tex]\: \: sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}{(sin(x)+cos(x))}[/tex]

til å finne [tex]\: \: \int \frac{dx}{(sin(x)+cos(x))^2} \: \: x \in (0, \frac{\pi}{2})[/tex]

uten å substituere [tex]\: t=tan(x) \:[/tex].

Hvordan skal man bruke identiteten til å finne dette integralet? Hvordan ser det nye integralet ut med etter innsettingen av denne identiteten?

Takker på forhånd for svar!

[Nebuchadnezzar]

Gang identiteten din med [tex]2/\sqrt{2}[/tex], og kvadrer den, ser du det da?

[Integralen]

Skal det være slik:


[tex]\: \: \int \frac{dx}{(sin(x)+cos(x))^2} =\sqrt{2}\int \frac{dx}{sin^2(x+\frac{\pi}{4})}=\int \frac{dx}{(sin(x)+cos(x))^2}[/tex]

?

Hvis ja: skal man videre sette [tex]\: u=x+\frac{\pi}{4}[/tex] og omskrive [tex]\: sin^2(u)=1-cos^2(u) \:[/tex]

?

[Nebuchadnezzar]

Andre overgang er riktig ja!
Bruk substitusjonen [tex]u = x + \pi/4[/tex], også bør integralet av

[tex]f(x) = 1/\sin^2(x) = \sec^2 x[/tex]

være kjent. Hvis ikke bør du se i regelboken din, eller prøve å derivere

[tex]1/\tan(x)[/tex]