Integral

[Integralen]

Oppgave 9.4.19 c)

Løs integralet:

[tex]\int \frac{u^2+1}{(-u^2+2u+1)^2}du[/tex]

ved bruk av substitusjon [tex]\: u=tan(\frac{\theta}{2})\:[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Noe enklere blir å se at

[tex]\begin{align} I & = & \int \frac{u^2+1}{(u^2-2u-1)^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & \int \fra{1 + \frac{1}{u^2}}{(u - \frac{1}{u} - 1)^2} \, \mathrm{d}u \end{align}[/tex]
Legg så merke til at om vi bruker substitusjonen
[tex]\kappa = u - \frac{1}{u}[/tex]
så blir
[tex]\mathrm{d}\kappa = \left( 1 + \frac{1}{u^2} \right) \mathrm{d}u[/tex]
og herfra løser integralet seg greit. Og mulig med delbrøk, men blir mye rot.

[Integralen]

Takk for det tipset.

[wingeer]

Med tanke på de uttrykkene der tror jeg dessverre ingen har spesielt lyst. Det ser litt rart ut i forhold til hva wolframalpha sier.

[Aleks855]

Tror Winger har rett. Det ser ut som en tidlig slurvefeil har skapt et helt crazy rot.

[Nebuchadnezzar]

Integralen: Prøv heller det jeg skrev til deg, som sagt da løser integralet seg mye enklere

[Integralen]

Problemet er at de to integralene ikke er like.

[Nebuchadnezzar]

[tex](-u^2+2u+1)^2 = [(-1)(u^2-2u-1)]^2 = (-1)^2 \cdot (u^2-2u-1)^2 = (u^2-2u-1)^2[/tex]

Og om du virkelig vil slite deg gjennom integralet via delbrøk
(noe jeg ikke ser grunnen til, da du kan gjøre som vist over)
legger jeg ved en grov skisse under.

[tex]\begin{array*}{ll} I & = \int \frac{u^2+1}{(u^2-2u-1)^2)}\,\mathrm{d}u \\ & = 2\overbrace{\int \frac{u+1}{(u^2-2u-1)^2}\,\mathrm{d}u}^{A} + \overbrace{\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2-2u-1}}^{B} \\ B & = \int \frac{\mathrm{d}u}{(u-1)^2-(\sqrt{2})^2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \text{arctanh}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(u-1) \right )\\ A & = \overbrace{\int \frac{u-1}{(u^2-2u-1)^2}\,\mathrm{d}u}^{C} + \overbrace{\int \frac{2}{(u^2-2u-1)^2}\,\mathrm{d}u}^{D}\\ C & = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\xi}{\xi^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2-2u-1}\,,\,\text{hvor} \, \xi = u^2-2u-1 \\ U & = \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} = -\frac{1}{a}\text{arctanh}\left( \frac{x}{a} \right ) \\ \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}a} & = \int \frac{2a}{(x^2-a^2)^2}\mathrm{d}x = \frac{1}{a^2}\text{arctanh}\left( \frac{x}{a} \right ) + \frac{1}{a} \cdot \frac{x}{a^2+x^2} \\ D & = \frac{1}{a} \cdot \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}a}= \frac{1}{(\sqrt{2})^3}\text{arctanh}\left( \frac{u-1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \cdot \frac{u-1}{(\sqrt{2})^2+(u-1)^2} \\ I & = 2A + B = 2(C + D) + B \\ & = 2\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^2-2u-1} + \frac{1}{(\sqrt{2})^3}\text{arctanh}\left( \frac{u-1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \cdot \frac{u-1}{(\sqrt{2})^2+(u-1)^2} \right) + \\ & \phantom{===========i} \left( - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \text{arctanh}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(u-1) \right ) \right ) \\ & = \frac{u}{u^2-2u-1} + \mathcal{C} \end{array*}[/tex]

[Integralen]

Jeg vil jo ikke gå gjennom delbrøk, siden den gir så mye rot å gå gjennom for dette integralet, men det du kom med, nemlig:

Noe enklere blir å se at
[tex]\begin{align} I & = & \int \frac{u^2+1}{(u^2-2u-1)^2} \, \mathrm{d}u \\ & = & \int \fra{1 + \frac{1}{u^2}}{(u - \frac{1}{u} - 1)^2} \, \mathrm{d}u \end{align}[/tex]
Legg så merke til at om vi bruker substitusjonen
[tex]\kappa = u - \frac{1}{u}[/tex]
så blir
[tex]\mathrm{d}\kappa = \left( 1 + \frac{1}{u^2} \right) \mathrm{d}u[/tex]
og herfra løser integralet seg greit. Og mulig med delbrøk, men blir mye rot.

det var dette jeg ville bruke, men jeg kan ikke bruke dette fordi, det som står i den ene integranden IKKE er lik den andre integranden.Det er dette jeg mener er problemet.

[Nebuchadnezzar]

Legg merke til at det er en skrivefeil i nederste integralet, selvsagt skal teller være [tex]( u - \frac{1}{u} - 2)^2[/tex]. Som du sikkert ville sett om du hadde prøvd å dele teller og nevner på [tex]u^2[/tex]...

[Integralen]

Det gikk veldig fort å løse med trikset ditt, genialt!