Implisitt / eksplisitt uttrykk for tangent på parabel

[dan]

Hei!

Jeg skal finne tangentlinjen i punktet [tex](x_0, y_0)[/tex] på parabelen
[tex]y^2 = 4ax[/tex].

Først tenkte jeg at jeg kunne derivere den implisitt:

[tex] \frac{d}{dx} y^2 = \frac{d}{dx} 4ax \Leftrightarrow y\prime(x) =\frac{ 4a}{ 2y}[/tex]

Men så slår det meg at jeg kanskje ikke kan gjør det slik, siden jeg egentlig har at

[tex] y = \pm \sqrt{4ax}[/tex] som gir et annet uttrykk for den deriverte mhp. y.


Whats what her? Hvorfor kan jeg eventuelt ikke derivere implisitt?

[Janhaa]

Hei!
Jeg skal finne tangentlinjen i punktet [tex](x_0, y_0)[/tex] på parabelen
[tex]y^2 = 4ax[/tex].
[tex] y = \pm \sqrt{4ax}[/tex] som gir et annet uttrykk for den deriverte mhp. y.
Whats what her? Hvorfor kan jeg eventuelt ikke derivere implisitt?

hva med:

[tex]2yy^,=4a[/tex]

og dernest

[tex]y-y_o=y^,(y_o)\left(x-x_o)\right[/tex]

[dan]

Helt enig med deg, Janhaa, men dersom jeg hadde løst det eksplisitt mhp. y først ville jeg ha fått et helt annet uttrykk så vidt jeg kan se.

takk

[Gustav]

Helt enig med deg, Janhaa, men dersom jeg hadde løst det eksplisitt mhp. y først ville jeg ha fått et helt annet uttrykk så vidt jeg kan se.

takk :)

Nei, det ville blitt nøyaktig det samme.

[dan]

Huff. Det der var frustrasjonen som snakket. Selvsagt er de to uttrykkene like.. Takk


Altså. Jeg skal finne når tangentlinjen til den nevnte parabelen krysser x-aksen.

Vet at [tex]y\prime = \frac{2a}{y}[/tex]

Finner ligning for tangenten: [tex] Y - y_0 = y\prime(y_0)(x - x_0)[/tex]

Finner [tex] y\prime(y_0)[/tex] ved å løse likningen for parabelen mhp. y: y(x) [tex] y(x) = \pm \sqrt{4*a*x} \Leftrightarrow y\prime(y_0) = \pm\frac{2a}{\sqrt{(4ax_0)}}[/tex]

Dermed er Y (altså likningen for tangentlinja) gitt ved

[tex] Y =\pm\frac{2a}{sqrt{4ax_0}}(x-x_0) + y_0[/tex]
I den siste likningen kan jeg kanskje sette inn for [tex]y_0[/tex] slik at jeg ender opp med
[tex] Y =\frac{2a}{\pm\sqrt{4ax_0}}(x-x_0) \pm{sqrt{4ax_0}} [/tex]

Setter til slutt Y = 0, og får ved å løse denne at [tex] x = -x_0[/tex]

Tangentlinja til parabelen skjærer altså x-aksen i [tex]({-x_0}, 0)[/tex]

Ser dette riktig ut?