nivåkurver og skisse av e^(x^2 - y^2)

[dan]

Hei!

Jeg skal lage en skisse av e^(x^2 - y^2) basert på nivåkurvene.

Jeg har gjort det følgende: Jeg undersøker først nivåkurvene for positive z-verdier:

[tex] e^{(x^2 - y^2)} = c [/tex]

[tex]e^{x^2} = c*e^{y^2}[/tex]

[tex]x^2 = ln(c) + y^2[/tex]

[tex]\frac{x^2}{{\sqrt{ln(c)}^2}} + \frac{y^2}{{\sqrt{ln(c)}^2}} = 1[/tex]

Vi ser altså på hyperbel-nivåkurver for noen positive c-verdier. Dersom c i tillegg er større enn 1, vil vi alltid få hyperbel-nivåkurver med åpning mot høyre/venstre og sentrum i (0, 0), med brennpunkter i [tex](-\sqrt{ln(c^2)}, 0) og (\sqrt{ln(c^2)}, 0)[/tex], og at når c = 0, så er x = +- y, altså, som altså er de skrå linjene gjennom origo.

Men hva skjer mellom når [tex] c\in (-1, 1) [/tex]

Da får vi jo brått imaginære verdier for brennpunktene?

Takk

[Janhaa]

hjelper dette...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 2-y%5E2%29

[dan]

Takk, det hjelper en del, men det er fortsatt ikke så godt å se av direkte fra plottet

Skal prøve å formulere problemet litt bedre.

For funksjonsverdier 0<c<1 så skulle altså
brennpunktene ligge i (-sqrt(ln(c^2)) og (sqrt(ln(c^2)) med mindre jeg har gjort en regnefeil. Med andre ord burde det ikke eksistere nivåkurver for funksjonen når f(x, y) < 1. men hvis jeg ber wolfram tegne e^(x^2 - y^2) = 0.5, så tegner den en nivåkurve som er en stående hyperbel med brennpunkter i ~ y = +- 0.8. Dette forsår jeg ikke helt

[Janhaa]

Takk, det hjelper en del, men det er fortsatt ikke så godt å se av direkte fra plottet
Skal prøve å formulere problemet litt bedre.
For funksjonsverdier 0<c<1 så skulle altså
brennpunktene ligge i (-sqrt(ln(c^2)) og (sqrt(ln(c^2)) med mindre jeg har gjort en regnefeil. Med andre ord burde det ikke eksistere nivåkurver for funksjonen når f(x, y) < 1. men hvis jeg ber wolfram tegne e^(x^2 - y^2) = 0.5, så tegner den en nivåkurve som er en stående hyperbel med brennpunkter i ~ y = +- 0.8. Dette forsår jeg ikke helt

jeg kan dessverre ikke bidrag mer enn wolfram på dette...sjekk

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %29-0.5%29

[dan]

Takk for innsatsen

[Gustav]

[tex]x^2-y^2=\ln(c)[/tex].

Dersom 0<c<1 er ln(c) et negativt tall, kall det [tex]-a^2[/tex]:

Altså fås

[tex]x^2-y^2=-a^2[/tex] som er det samme som

[tex]\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2}=1[/tex]

Dersom 1<c er ln(c) et positivt tall, kall det [tex]a^2[/tex]:

Altså fås

[tex]x^2-y^2=a^2[/tex] som er det samme som

[tex]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1[/tex].

Altså to ulike hyperbler med "motsatt" orientering.

Tilfellet c=1 bør drøftes for seg selv.

Dersom [tex]c\leq 0 [/tex] fås ingen nivåkurver siden [tex]f(x,y)=e^{x^2-y^2}>0[/tex] for alle x,y

[dan]

aha!

Tusen takk! Det burde jeg strengt tatt ha tenkt på.. på tide med en liten pause.